Soal Lomba Matematika MCR tingkat SMP

\(𝑥 =\frac{2 + \sqrt{2012}}{5}\)
\(5𝑥 = 2 + \sqrt{2012}\)
\(5𝑥 − 2 = \sqrt{2012}\), kuadratkan kedua ruas
\(25𝑥^2 − 20𝑥 + 4 = 2012\)
\(25𝑥^2 − 20𝑥 − 2008 = 0\)
Selanjutnya
\(25𝑥^{2012} − 20𝑥^{2011} − 2008𝑥^{2010} + 25𝑥^2 − 20𝑥 + 7\)
\(= 𝑥^{2010}(25𝑥^2 − 20𝑥 − 2008) + (25𝑥^2 − 20𝑥) + 7\)
\(= 𝑥^{2010}(0) + 2008 + 7 = 2015\)

Misalkan
Kecepatan lubang dasar \(𝐴 =\frac{1}{24}\)
Kecepatan kran air dingin \(𝐵 =\frac{1}{21,6}=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}\)
Kecepatan kran air panas \(𝐶 =…\)

Dari keterangan soal, Jika kran air dingin dan air panas dibuka bersamaan dan lubang dasar bak juga dibuka, bak akan penuh dalam 13,5 menit. Dapat ditulis dalam persamaan
\(𝐶 + 𝐵 − 𝐴 =\frac{1}{13,5}=\frac{10}{135}=\frac{2}{27}\)
\(⇒𝐶 +\frac{5}{108}−\frac{1}{24}=\frac{2}{27}\)
\(⇒𝐶 =\frac{2}{27}−\frac{5}{108}+\frac{1}{24}\)
\(⇒C=\frac{8}{108}−\frac{5}{108}+\frac{1}{24}=\frac{1}{36}+\frac{1}{24}=\frac{5}{72}=\frac{1}{14,4}\)
Jadi waktu yang dibutuhkan kran \(C\) untuk mengisi penuh Bak adalah \(14,4\) menit

Misalkan
\(2^𝑥 = 𝑎\) dan \(3^𝑥 = 𝑏\)
Subtitusi ke
\(2^𝑥 + 3^𝑥 − 4^𝑥 + 6^𝑥 − 9^𝑥 = 1\)
\(𝑎 + 𝑏 − 𝑎^2 + 𝑎𝑏 − 𝑏^2 = 1\)
\(𝑎^2 + 𝑏^2 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏 + 1 = 0\)
\(2𝑎^2 + 2𝑏^2 − 2𝑎 − 2𝑏 − 2𝑎𝑏 + 2 = 0\)
\(𝑎^2 − 2𝑎 + 1 + 𝑏^2 − 2𝑏 + 1 + 𝑎^2 + 𝑏^2 − 2𝑎𝑏 = 0\)
\((𝑎 − 1)^2 + (𝑏 − 1)^2 + (𝑎 − 𝑏)^2 = 0\)
Diperoleh \(𝑎 − 1 = 0, 𝑏 − 1 = 0, 𝑎 − 𝑏 = 0,\) nilai \(𝑎\) dan \(𝑏\) yang menenuhi adalah \(𝑎 = 𝑏 = 1\),
subtitusi ke \(2^𝑥 = 𝑎\) dan \(3^𝑥 = 𝑏\)
\(2𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = 0\) dan \(3𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = 0\).
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(0\)

Bentuk umumnya

\(\frac{1}{1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛}=\frac{1}{\frac{(𝑛 + 1)𝑛}{2}}=\frac{2}{𝑛(𝑛 + 1)}= 2(\frac{1}{𝑛}−\frac{1}{𝑛 + 1})\)

Selanjutnya
\(\frac{1}{1}+\frac{1}{1 + 2}+\frac{1}{1 + 2 + 3}+\frac{1}{1 + 2 + 3 + 4}+ ⋯ +\frac{1}{1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 2014}\)
\(= 2 (\frac{1}{1}−\frac{1}{2}) + 2 (\frac{1}{2}−\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}) + ⋯ + 2 (\frac{1}{2014}−\frac{1}{2015})\)
\(= 2 (\frac{1}{1}−\frac{1}{2}+\frac{1}{2}−\frac{1}{3}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}+ ⋯ +\frac{1}{2014}−\frac{1}{2015})\)
\(= 2 (\frac{1}{1}−\frac{1}{2015}) = 2 (\frac{2014}{2015}) =\frac{4028}{2015}\)

Misalkan luas \(Δ𝐴𝐵𝐶\) adalah \(𝑥\).
Karena \(BD : DC = 1 : 2\), maka \(CD : CB = 2 : 3\), diperoleh
\([𝐴𝐷𝐶] =\frac{2}{3}[𝐴𝐵𝐶] =\frac{2}{3}𝑥\)
Karena \(AL : LD = 1 : 5\), maka \(AL : AD = 1 : 6\), diperoleh
\([𝐴𝐿𝐶] =\frac{1}{6}[𝐴𝐷𝐶] = (\frac{1}{6})(\frac{2}{3}𝑥) =\frac{1}{9}𝑥\)
Selanjutnya
\([𝐴𝐵𝐷] =\frac{1}{3}[𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{3}𝑥\)
Karena \(AL : LD = 1 : 5\) maka \(LD : AD = 5 : 6\), diperoleh luas \([𝐵𝐷𝐿] =\frac{5}{6}[𝐴𝐵𝐷] =\frac{5}{6}(\frac{1}{3}𝑥) =\frac{5}{18}𝑥\)

Jadi perbandingan \([𝐴𝐶𝐿] ∶ [𝐵𝐷𝐿] =\frac{1}{9}𝑥 ∶ \frac{5}{18}𝑥 = 2 ∶ 5\)

Karena disisipkan \(5\) bilangan maka banyak suku barisan terbaru ada \(7\) suku.
\(𝑎 = 7\) dan \(𝑈_7 = 448\), terdapat suku yang negative maka rasionya negatif
\(\frac{𝑈_7}{𝑎}=\frac{𝑎𝑟^6}{𝑎}=\frac{448}{7}\)
\(⟹ 𝑟^6 = 64 ⟹ 𝑟 = −2\)
Selanjutnya
\(𝑈_2 + 𝑈_6 + 𝑥 = 2016\)
\(⇒𝑎𝑟 + 𝑎𝑟^5 + 𝑥 = 2016\)
\(⇒7(−2) + 7(−2)^5 + 𝑥 = 2016\)
\(⇒−14 − 224 + 𝑥 = 2016\)
\(𝑥 = 2016 + 238 = 2254\)
Jadi nilai dari \(\sqrt[4]{(𝑥 − 45)^2} =\sqrt[4]{(2254 − 45)^2} = 47\)