Soal Lomba Matematika SD PEMNAS UB

\(1\) gross = \(144\) buah
Banyak permen \(= 3\frac{1}{4}\) gross \(=\frac{13}{4}\times 144=468\) permen
Harga untuk \(468\) permen adalah \(\frac{468}{3}\times {400}=156\times {400}=𝑅𝑝62.400,00\)

\(\frac{1}{0,2}−\frac{1}{0,6}+\frac{1}{1,2}−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\) \(=\frac{10}{2}−\frac{10}{6}+\frac{10}{12}−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)
\(=\frac{60−20+10−6+4}{12}\)
\(= \frac{48}{12}\)
\(=4\)

\(9,363636…=𝑥\) … (1)
\(936,3636…=100𝑥\) … (2)
kurangkan pers(2) dan pers(1)
\(927=99𝑥\)
\(𝑥=\frac{927}{99}=\frac{103}{11}=\frac{𝑎}{𝑏}\)
Jadi nilai dari \(\frac{𝑎−4}{𝑏}=\frac{103−4}{11}=\frac{99}{11}=9\)

Jumlah kuadrat \(a\) dan \(b\) dapat ditulis menjadi \((𝑎^2+𝑏^2)\)
Kuadrat jumlah \(a\) dan \(b\) dapat ditulis menjadi \((𝑎+𝑏)^2\)
Perhatikan :
\(10^3=1000\) tidak memenuhi kedua bilangan karena melebihi \(855\).
\(9^3=729\), jumlah kedua bilangan adalah \(15\), pasangannya \(9\) adalah \(6\), \(6^3=216\) (tidak memenuhi jumlah pangkat tiga adalah \(855\)),
\(8^3=512\), jumlah kedua bilangan adalah \(15\), pasangannya \(8\) adalah \(7, 7^3=343\) .
Karena \(8^3+7^3=512+343=855\) maka kedua bilangan yang memenuhi adalah \(8\) dan \(7\).
Jadi jumlah kuadrat kedua bilangan adalah \(8^2+7^2=64+49=113\)

Banyak buah pisang yang di beli : \(𝑝\)
Banyak buah apel yang di beli : \(𝑎\)
Banyak buah jeruk yang di beli : \(𝑗\)
\(15000𝑝 + 17500𝑎 +18000𝑗≤100000\)
\(⟹150𝑝+175𝑎+180𝑗≤1000\)
\(⟹30𝑝+35𝑎+36𝑗≤200\)
• Untuk \(𝑝=1\),maka \( 35𝑎+36𝑗≤170, (𝑎,𝑗)\) yang memenuhi adalah \((1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)\)
• Untuk \(𝑝=2\) maka \(35𝑎+36𝑗≤140,(𝑎,𝑗)\) yang memenuhi adalah \((1,1),(1,2),(2,1)\)
• Untuk \(𝑝=3\) maka \(35𝑎+36𝑗≤110,(𝑎,𝑗)\) yang memenuhi adalah \((1,1),(1,2),(2,1)\)
• Untuk \(𝑝=4\) maka \(35𝑎+36𝑗≤80,(𝑎,𝑗)\) yang memenuhi adalah \((1,1)\)
• Untuk \(𝑝=5\) maka \(35𝑎+36𝑗≤50,(𝑎,𝑗)\) tidak memenuhi
Banyak kemungkinan Rani membeli ketiga buah adalah \(6 + 3 + 3 + 1 = 13\) cara

Amir = \(x\)
Ayah = \(4x\)
Gedung = \(7x\)
\(8\) tahun kemudian
Amir =\( x + 8 = 5y …(1)\)
Ayah = \(4x + 8 = 14y …(2)\)
Gedung = \(7x + 8 = 23y …(3)\)
Kurangkan pers(2) dan pers(1)
\(3x = 9y ⟹ x =3y\)
Subtitusi \(x=3y\) ke pers (3)
\(7(3y) + 8 = 23y\)
\(21y + 8 = 23y\)
\(2y = 8, y = 4\),
Diperoleh \(x=3y =3(4)=12\)
Usia Gedung adalah \(7x = 7(12) = 84\) tahun

Banyak Tiket anak-anak : \(A\)
Banyak Tiket dewasa : \(D\)
\(𝐴 + 𝐷 = 100 …(1)\)
\(80000𝐴 + 100000𝐷 = 9100000 ⟹ 8𝐴 + 10𝐷 = 910 … (2)\)
Kurangkan 8 kali pers(1) dari Persamaan (2)
\(8𝐴 + 10𝐷 = 910\)
\(8𝐴 + 8𝐷 = 800\)
———————————- –
\(2𝐷 = 110 ⟹ 𝐷 = 55\)
Jadi banyak penumpang dewasa ada \(55\)

Banyak bilangan pada barisan aritmetika di atas adalah \(\frac{2016−153}{3}+1=621+1=622\)
Rata rata barisannya adalah \(\frac{153+156+159+⋯+2016}{622}=\frac{\frac{(153+2016)622}{2}}{622}=\frac{2169}{2}=1084,5\)

Dengan menggunakan pohon factor, diperoleh faktorisasi prima dari 2016 adalah \(2^5\times 3^2\times 7\). Factor primanya adalah 2, 3 dan 7. Jadi jumlah kuadrat ketiga factor tersebut adalah \(2^2+3^2+7^2=4+9+49=62\)

Bilangan kelipatan 7 terkecilnya adalah 56 dan bilangan kelipatan 7 terbesarnya adalah 2009. Jadi banyaknya bilangan adalah \(\frac{2009−56}{7}+1=280+1=280\).

\(\frac{𝑐}{𝑏}=\frac{1}{3}⟹𝑏=3𝑐\) dan \(𝑎=4𝑐\) maka \(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{4𝑐}{3𝑐}=\frac{4}{3}\)

Dengan menggunakan penjumlahan bersusun di peroleh:

Jadi nilai dari \(17.296 + 1,7296 + 172,96 + 17,296 + 1.729,6 = 19217,5856\)

Misalkan dua bilangannya adalah \( 𝑎\) dan \(𝑏, 𝑎>𝑏\)
\(𝑎+𝑏=−8\)
\(𝑎^2+𝑏^2=160\)
\(𝑎−𝑏=⋯ ?\)
Bilangan kuadrat \(\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\}\)
Dari bilangan kuadrat di atas yang memenuhi \(𝑎^2+𝑏^2=160\) adalah \(𝑎^2=144\) dan \(𝑏^2=16\),
diperoleh nilai \(𝑎=±12\) dan \(𝑏=±4\),
Karena \(𝑎+𝑏=−8\) dan \(𝑎>𝑏\) maka nilai \(𝑎\) dan \(𝑏\) yang memenuhi adalah \(4\) dan \(-12\)
Jadi nilai dari \(𝑎−𝑏\) adalah \(4−(−12)=4+12=16\)

Waktu kerja 100 pekerja (A) dari 20 Maret 2018 sampai dengan 18 April 2018 adalah 30 hari, misalkan waktu kerja 75 pekerja (B) agar selesai secara bersamaan adalah \(n\) hari, maka
Total kerja A = Total kerja B
\(100\times 30=75\times 𝑛\)
\(𝑛=⌈\frac{100\times 30}{75}⌉=⌈\frac{4\times 30}{3}⌉=40\) hari
Artinya pekerja B harus memulai 10 hari sebelum pekerja A mulai bekerja, jadi pekerja harus mulai bekerja tanggal 10 Maret 2018.

\( 𝑥̅=\frac{1(96\%)+1(84\%)+10(72\%)}{12}=75\%\)

\(𝟕,𝟕=\frac{𝑨(𝟕,𝟖)+𝟒𝟓(𝟕,𝟓)+𝟗,𝟔}{𝑨+𝟒𝟔}\)
\(7,7(𝐴+46)=𝐴(7,8)+45(7,5)+9,6\)
\(7,7𝐴+354,2=7,8𝐴+337,5+9,6\)
\(354,2−337,5−9,6=7,8𝐴−7,7𝐴\)
\(7,1=0,1𝐴\)
\(𝐴=\frac{7,1}{0,1}=71\) siswa
Jadi jumlah seluruh siswa adalah \(46 + 71 = 117\) siswa

Tinggi awal = 3 m
Pantulan pertama \(= \frac{5}{6}\times 3=\frac{5}{2}\) m
Pantulan kedua \(= \frac{5}{6}\times \frac{5}{2}=\frac{25}{12}\) m
Pantulan ketiga \(= \frac{5}{6}\times \frac{25}{12}=\frac{125}{72}\) m
Pantulan keempat \(= \frac{5}{6}\times \frac{125}{72}=\frac{625}{432}\) m
Panjang lintasan seluruhnya adalah
\(3+2(\frac{5}{2}+\frac{25}{12}+\frac{125}{72}+\frac{625}{432})\)

\(=3+5+\frac{25}{6}+\frac{125}{36}+\frac{625}{216}\)

\(=8+4\frac{1}{6}+3\frac{17}{36}+2\frac{192}{216}\)

\(=17+\frac{36 + 102+192}{216}\)

\(=17+\frac{330}{216}=17+1\frac{114}{216}\)

\(=18\frac{114}{216}=18\frac{57}{108}≈18,523\) meter

Hasil dari baris ketiga diperoleh dari baris pertama dikali dengan 5 dan baris kedua dikali dengan 2.
Dari baris ketiga jumlah umur ayah dan adik adalah 66 (sesuai dengan soal), sehingga berdasarkan tabel pada baris ketiga diperoleh umur ibu dan kakak berturut-turut adalah 45 tahun dan 18 tahun
Jadi selisih umur Ibu dan kakak adalah 45 – 18 = 27 tahun

cari nilai \(x\) dengan menggunakan rumus pythagoras
\(𝑥=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)
Jadi kelilingnya adalah \(\sqrt{13}+\sqrt{13}+4=2\sqrt{13}+4\) cm

\(3^𝑝=2019⟹3^{𝑝𝑞}=2019^𝑞\) …(1)
\(673^𝑞=2019⟹673^{𝑝𝑞}=2019^𝑝\) …(2)
kalikan persamaan (1) dan Persamaan (2)
\(3^{𝑝𝑞}.673^{𝑝𝑞}=2019^𝑞.2019^𝑝\)
\( 2019^{𝑝𝑞}=2019^{𝑝+𝑞}\)
\(𝑝𝑞=𝑝+𝑞\)
jadi
\(\frac{1}{𝑝}+\frac{1}{𝑞}=\frac{𝑞+𝑝}{𝑝𝑞}=\frac{𝑝𝑞}{𝑝𝑞}=1\)

Misalkan banyak data adalah \(𝑛\). data yang ditambahkan sebanyaknya \(60%𝑛=0,6𝑛\), menghasilkan rata-rata baru dimisalkan dengan \(𝑦\). Rata-rata baru setelah ditambahkan adalah \(𝑚\), dapat ditulis seperti berikut ini

\(𝑚=\frac{𝑛(1,5𝑚+2)+0,6𝑛(𝑦)}{𝑛+0,6𝑛}\)

\(𝑚=\frac{𝑛(1,5𝑚+2)+0,6𝑛(𝑦)}{1,6𝑛}\)

\(𝑚=\frac{(1,5𝑚+2)+0,6(𝑦)}{1,6}\)

\(1,6𝑚=1,5𝑚+2+0,6𝑦\)
\(1,6𝑚−1,5𝑚=2+0,6𝑦\)
\(0,1𝑚=2+0,6𝑦\)
\(𝑚=20+6𝑦\)
\(6𝑦=𝑚−20\)
\(𝑦=\frac{𝑚}{6}−\frac{10}{3}\)

\(A=(1.728)^{\frac{1}{3}}𝑎^{\frac{7}{8}}𝑏^{\frac{8}{9}}𝑐^{\frac{6}{5}}=(12^3)^{\frac{1}{3}}𝑎^{\frac{7}{8}}𝑏^{\frac{8}{9}}𝑐^{\frac{6}{5}}=2^23𝑎^{\frac{7}{8}}𝑏^{\frac{8}{9}}𝑐^{\frac{6}{5}}\)

\(B=(3\sqrt 2)^2𝑎^{\frac{3}{4}}𝑏^{\frac{9}{8}}𝑐^{\frac{5}{4}}=3^22𝑎^{\frac{3}{4}}𝑏^{\frac{9}{8}}𝑐^{\frac{5}{4}}\)

\(C=\sqrt{64}𝑎^{\frac{3}{2}}𝑏^{\frac{2}{7}}𝑐^{\frac{7}{4}}=8𝑎^{\frac{3}{2}}𝑏^{\frac{2}{7}}𝑐^{\frac{7}{4}}=2^3𝑎^{\frac{3}{2}}𝑏^{\frac{2}{7}}𝑐^{\frac{7}{4}}\)

\(x=KPK(A,B,C)=2^2 3^2𝑎^{\frac{3}{2}}𝑏^{\frac{9}{8}}𝑐^{\frac{7}{4}}\)

\(y=FPB(A,B,C)=2𝑎^{\frac{3}{4}}𝑏^{\frac{2}{7}}𝑐^{\frac{6}{5}}\)

\(\frac{x}{y}=\frac{2^2 3^2𝑎^{\frac{3}{2}}𝑏^{\frac{9}{8}}𝑐^{\frac{7}{4}}}{2𝑎^{\frac{3}{4}}𝑏^{\frac{2}{7}}𝑐^{\frac{6}{5}}}=36𝑎^{\frac{3}{4}}𝑏^{\frac{47}{56}}𝑐^{\frac{11}{20}}\)

Misalkan banyaknya bola merah, putih dan biru adalah \(𝑀,𝑃\) dan \(𝐵\).
\(𝑀+𝑃+𝐵=13\)
Banyak cara mengambil 1 bola merah, 1 bola putih, dan 1 bola biru adalah
\({𝑀\choose 1}{P\choose 1}{P\choose 1}=27⟹𝑀.𝑃.𝐵=27\)
Karena bola merah adalah yang paling sedikit dan bola biru adalah yang paling banyak di kotak tersebut maka kemungkinan \(𝑀.𝑃.𝐵=27\) adalah \(1.3.9=27⇒1+3+9=13\). Diperoleh banyak bola putih adalah 3 bola.

\(𝑎𝑏=25\) … (1)
\(𝑏𝑑=20\) … (2)
\(𝑎𝑐=80\) … (3)
\(𝑐𝑑=⋯?\)

kalikan persamaan (2) dan (3)

\(𝑎𝑐.𝑏𝑑=80.20\)
\(𝑎𝑏.𝑐𝑑=80.20\)

\( 𝑐𝑑=\frac{80.20}{ab}\)
\( 𝑐𝑑=\frac{80.20}{25}\)
\( 𝑐𝑑=\frac{80.4}{5}\)
\( 𝑐𝑑=16.4\)
\( 𝑐𝑑=64\;𝑐𝑚^2\)