Soal Lomba Matematika SMP PEMNAS UB

MATH CONTEST Nasional PEMNAS SMP

Soal dan Solusi Lomba Matematika PEMNAS tingkat SMP, Soal berikut ini merupakan soal-soal pilihan dari tahun ke tahun. Lomba PEMNAS diadakan oleh mahasiswa jurusan Matematika Universitas Brawijaya .

Soal dan Solusi PEMNAS SMP


1.Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu dan \(3\) orang anak berturut turut dari yang paling tua adalah Toni, Tania dan Tina. Ayah dan Ibu nantinya ingin memiliki \(7\) orang cucu. Peluang bahwa Tania memiliki \(4\) anak atau Tina memiliki \(5\) anak adalah …(PEMNAS 2019)
a. \(\frac{1}{9}\)
b. \(\frac{7}{36}\)
c. \(\frac{1}{108}\)
d. \(\frac{1}{12}\)


Misalkan banyak anak Toni adalah \(π‘Ž\), banyak anak Tania adalah \(𝑏\), banyak anak Tina adalah \(𝑐\). Karena Orang tuannya menginginkan \(7\) cucu maka

\(π‘Ž+𝑏+𝑐=7\)

Dengan menggunakan teorema star bars, banyak kemungkinan \((π‘Ž,𝑏,𝑐)\) adalah \({7+3βˆ’1}\choose{3βˆ’1}\)\(={9}\choose {2}\)\(=\frac{9!}{7!.2!}=\frac{9\times 8}{2}=36\)
Selanjutnya.
Jika Tania memiliki \(4\) anak atau \(𝑏=4\), maka \(π‘Ž+𝑐=3\), banyak kemungkinan adalah \({3+2βˆ’1}\choose{2βˆ’1}\)=\({4}\choose {1}\)\(=4\) kemungkinan.
Jika Tina memiliki \(5\) anak atau \(𝑐=5\), maka \(π‘Ž+𝑏=2\), banyak kemungkinan adalah \({2+2βˆ’1}\choose{2βˆ’1}\)\(={3}\choose {1}\)\(=3\) kemungkinan
Jadi Peluang bahwa Tania memiliki \(4\) anak atau Tina memiliki \(5\) anak adalah \(\frac{4+3}{36}=\frac{7}{36}\)


2. Sebuah kotak berisi 11 bola dan bola-bola tersebut dinomori 1, 2, 3, 4…, 11. Jika 6 buah bola diambil secara acak, peluang jumlah angka-angka yang diambil tersebut merupakan bilangan genap adalah…(PEMNAS 2019)
a. \(\frac{72}{231}\)
b. \(\frac{27}{231}\)
c. \(\frac{53}{231}\)
d. \(\frac{35}{231}\)


\(A : \{2, 4, 6, 8, 10\}\)
\(B : \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}\)
Diambil \(6\) buah bola dan jumlah angkanya adalah genap, kemungkinannya:
* Mengambil \(6\) bola ganjil ada \(1\) cara
* Mengambil \(2\) genap dan \(4\) ganjil, banyak cara \({5}\choose{2}\)\({6}\choose {4}\)\(=(10)(15)=150\) cara
* Mengambil \(4\) genap dan \(2\) ganjil, banyak cara \({5}\choose{4}\)\({6}\choose {2}\)\(=(5)(15)=75\) cara
Banyak seluruh kemungkinan jika \(6\) bola diambil secara acak adalah \({11}\choose {6}\)\(=\frac{11!}{6!.5!}=462\) cara
Jadi peluang terambilnya \(6\) bola berjumlah genap adalah \(\frac{1+150+75}{462}=\frac{226}{462}=\frac{113}{231}\)


3. Banyak digit dari \(1^2βˆ’2^2+3^2βˆ’4^2+β‹―+2019^2\) (PEMNAS 2019)
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10


 

\(1^2βˆ’2^2+3^2βˆ’4^2+β‹―+2017^2βˆ’2018^2+2019^2\)
\(=(-1)(1+2)+(-1)(3+4)+…+(-1)(2017+2018)+2019^2\)
\(=βˆ’(1+2+3+4+β‹―+2018)+2019^2\)
\(=βˆ’\frac{(2018(2019)}{2}+2019^2\)
\(=2019^2βˆ’1009(2019)\)
\(=2019(2019βˆ’1009)\)
\(=2019(1010)=2039190\)
Jadi banyak digitnya ada \(7\)


4. Bentuk perkalian

\((\frac{1}{2019}βˆ’1)(\frac{1}{2018}βˆ’1)(\frac{1}{2017}βˆ’1)…(\frac{1}{4}βˆ’1)(\frac{1}{3}βˆ’1)(\frac{1}{2}βˆ’1)\)

dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{π‘š}{𝑛}\), dengan \(𝐹𝑃𝐡(π‘š,𝑛)=1\). Hasil dari \(π‘š^π‘›βˆ’1\) adalah …(PEMNAS 2019)
a. \(2018\)
b. \(2^{2019}-1\)
c. \(1\)
d. \(0\)


\((\frac{1}{2019}βˆ’1)(\frac{1}{2018}βˆ’1)(\frac{1}{2017}βˆ’1)…(\frac{1}{4}βˆ’1)(\frac{1}{3}βˆ’1)(\frac{1}{2}βˆ’1)\)

\(=(\frac{βˆ’2018}{2019})(\frac{βˆ’2017}{2018})(\frac{βˆ’2016}{2017})…(\frac{βˆ’3}{4})(\frac{βˆ’2}{3})(\frac{βˆ’1}{2})\)

\( =(\frac{1}{2019})\)

Diperoleh \(π‘š=1\) dan \(𝑛=2019\). jadi nilai dari \(π‘š^π‘›βˆ’1=1^{2019}βˆ’1=1βˆ’1=0\)


5. Misalkan \(π‘Ž\) dan \(𝑏\) bilangan real yang memenuhi persamaan-persamaan

\(π‘Ž+𝑏=19\)
\(π‘Žβˆ’π‘=\frac{βˆ’π‘Ž(π‘Žβˆ’π‘)βˆ’20}{𝑏}\)
\(π‘Žπ‘=\frac{11}{2}\)

Nilai dari \(π‘Ž^4βˆ’π‘^4\) adalah …(PEMNAS 2019)
a. 700
b. 7000
c. 350
d. 2019


\(π‘Ž^4βˆ’π‘^4=(π‘Ž^2βˆ’π‘^2)(π‘Ž^2+𝑏^2)=(π‘Ž^2βˆ’π‘^2)[(π‘Ž+𝑏)^2βˆ’2π‘Žπ‘)]\)
Nilai \(π‘Ž^2βˆ’π‘^2\) dapat diperoleh dari
\(π‘Žβˆ’π‘=\frac{βˆ’π‘Ž(π‘Žβˆ’π‘)βˆ’20}{𝑏}\)
\(⟹(π‘Žβˆ’π‘)𝑏=βˆ’π‘Ž(π‘Žβˆ’π‘)+20\)
\(βŸΉπ‘Ž(π‘Žβˆ’π‘)+𝑏(π‘Žβˆ’π‘)=20\)
\(⟹(π‘Žβˆ’π‘)(π‘Ž+𝑏)=20 βŸΉπ‘Ž^2βˆ’π‘^2=20\)
Jadi
\(π‘Ž^4βˆ’π‘^4=(π‘Ž^2βˆ’π‘^2)(π‘Ž^2+𝑏^2)=(π‘Ž^2βˆ’π‘^2)[(π‘Ž+𝑏)^2βˆ’2π‘Žπ‘)]\)
\(=(20)(19^2βˆ’2(\frac{11}{2}))\)
\(=20(350)=7000\)


6. Luas persegi panjang yang titik-titik sudutnya adalah titik potong kurva antara \(7π‘₯^2βˆ’π‘¦^2βˆ’14π‘₯+4=0\) dan \(7π‘₯^2+3𝑦^2βˆ’14π‘₯βˆ’12=0\) adalah …(PEMNAS 2019)
a. 2
b. 4
c. 8
d. 16


Titik diperoleh dari
\(7π‘₯^2βˆ’π‘¦^2βˆ’14π‘₯+4=7π‘₯^2+3𝑦^2βˆ’14π‘₯βˆ’12\)
\(⟹16=3𝑦^2+𝑦^2\)
\(⟹4𝑦^2=16\)
\(βŸΉπ‘¦^2=4\)
\(βŸΉπ‘¦=Β±2\)
Subtitusi \(𝑦^2=4\) ke persamaan \(7π‘₯^2βˆ’π‘¦^2βˆ’14π‘₯+4=0\), diperoleh
\(7π‘₯^2βˆ’4βˆ’14π‘₯+4=0\)
\(⟹7π‘₯^2βˆ’14π‘₯=0\)
\(⟹7π‘₯(π‘₯βˆ’2)=0 ⟹π‘₯=0\) atau \(π‘₯=2\)
Diperoleh titik potong yaitu \((0, 2), (0,-2), (2, 2)\) dan \((2, -2)\)


Jadi luasnya adalah \(4\times 2=8\) satuan luas


7. Banyak factor prima dari \(3^{18}βˆ’2^{18}\). (PEMNAS 2019)
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5


\(3^{18}βˆ’2^{18}=(3^9)^2βˆ’(2^9)^2\)
\(=(3^9+2^9)(3^9βˆ’2^9)\)
\(=((3^3)^3+(2^3)^3)((3^3)^3βˆ’(2^3)^3)\)
\(=(27+8)(729βˆ’27.8+64)(27βˆ’8)(729+27.8+64)\)
\(=35(577)(19)(1009)\)
\(=5\times 7\times 577\times 19\times 1009\)
Jadi banyak faktor prima dari \(3^{18}βˆ’2^{18}\) adalah \(5\)


8. Diketahui \(x\) dan \(y\) merupakan bilangan real positif yang memenuhi system persamaan berikut:

\(π‘₯βˆ’π‘¦^2=3\)
\(π‘₯^2+𝑦^4=13\)

Jika \(π‘₯=\frac{π‘Ž+\sqrt{𝑏}}{𝑐}\), maka nilai dari \(\sqrt{𝑏^{𝑐^π‘Ž}}\) adalah …
a. 0
b. 1
c. 83521
d. 83251


\(π‘₯βˆ’π‘¦^2=3βŸΉπ‘¦^2=π‘₯βˆ’3βŸΉπ‘¦^4=(π‘₯βˆ’3)^2=π‘₯^2βˆ’6π‘₯+9\)
Selanjutnya subtitusi \(𝑦^4=π‘₯^2βˆ’6π‘₯+9\) ke persamaan \(π‘₯^2+𝑦^4=13\), diperoleh
\(β‡’π‘₯^2+𝑦^4=13\)
\(β‡’π‘₯^2+π‘₯^2βˆ’6π‘₯+9=13\)
\(β‡’ 2π‘₯^2βˆ’6π‘₯βˆ’4=0\)
\(β‡’ π‘₯^2βˆ’3π‘₯βˆ’2=0\)
Gunakan rumus abc
\(π‘₯=\frac{βˆ’π‘Β±\sqrt{𝑏^2βˆ’4π‘Žπ‘}}{2π‘Ž}\)
\(=\frac{3Β±\sqrt{9βˆ’4(1)(βˆ’2)}}{2}\)
\(=\frac{3Β±\sqrt{17}}{2}\)
Karena \(x\) positif maka yang memenuhi \(π‘₯=\frac{3Β±\sqrt{17}}{2}\), diperoleh \(a=3, b=17\) dan \(c=2\)
Jadi nilai dari \(\sqrt{𝑏^{𝑐^π‘Ž}}=\sqrt{17^{2^3}}=\sqrt{17^8}=17^4=83521\)


9. Digit satuan dari \(12^{2019}\times 36^{2018}\) adalah ….(PEMNAS 2019)
a. 1
b. 4
c. 7
d. 8


\((12^{2019}\times 36^{2018})\) mod \(10\)
\(=12^{2019\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 4}\times 36^{2018\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 4}\) mod \(10\)

\(=2^3\times 6^2\) mod \(10\)
\(=8\times 6\) mod \(10\)
\(=8\)


10. Bilangan bulat \(π‘˜\) terbesar sedemikian sehingga \(55^π‘˜|2019!\) (PEMNAS 2019)
a. 183
b. 200
c. 502
d. 702


\(55^π‘˜|2019!\) Artinya \(\frac{2019!}{55^π‘˜}\) menghasilkan bilangan bulat.
Gunakan teorema Legendre.

\(\frac{2019!}{55^π‘˜}=\frac{2019!}{5^π‘˜.11^π‘˜}\)

Nilai \(π‘˜=⌊\frac{2019}{11}βŒ‹+⌊\frac{183}{11}βŒ‹+⌊\frac{16}{11}βŒ‹=183+16+1=200\)

Jadi nilai \(k\) terbesar adalah \(200\)


11. Tentukan nilai x yang memenuhi:

\(\frac{4}{5}(2^{4π‘₯βˆ’1})+\frac{16^π‘₯}{10}=2\)

adalah …(PEMNAS 2016)


\(\frac{4}{5}(2^{4π‘₯βˆ’1})+\frac{16^π‘₯}{10}=2\)

\(⟹\frac{4}{5}(\frac{2^{4π‘₯}}{2})+\frac{16^π‘₯}{10}=2\)

\(⟹4(\frac{16^π‘₯}{10})+\frac{16^π‘₯}{10}=2\)

\(⟹5(\frac{16^π‘₯}{10})=2\)

\(⟹(\frac{16^π‘₯}{2})=2\)

\(⟹16^π‘₯=4\)

\(⟹4^{2π‘₯}=4^1\)

Samakan pangkatnya, \(2π‘₯=1⟹π‘₯=\frac{1}{2}\)


10. Dalam sebuah survei 90% dari responden anak SMP di kota X menyukai aktivitas sebagai berikut : menonton film, olahraga, dan membaca. Diberikan bahwa 45% suka film, 48% suka olahraga dan 35% persen suka membaca. Juga diberikan bahwa 12% menyukai film dan membaca, 20% hanya menyukai film, dan 15% hanya suka membaca. Persentase anak SMP yang menyukai ketiga aktivitas tersebut adalah … % (PEMNAS 2016)


Buat diagram venn:
Misalkan yang menyukai ketiganya adalah \(x\)

Berdasarkan diagram Venn di atas, maka diperoleh
\(48\%+20\%+15\%+(12βˆ’π‘₯)\%=90\%\)
\(⟹95\%βˆ’π‘₯\%=90\%\)
\(⟹π‘₯=95\%βˆ’90\%=5\%\)

Jadi Persentase anak SMP yang menyukai ketiga aktivitas tersebut adalah \(5\%\)


Pages ( 1 of 2 ): 1 2Next Β»

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *