Soal dan Solusi Lomba Matematika PEMNAS tingkat SMP, Soal berikut ini merupakan soal-soal pilihan dari tahun ke tahun. Lomba PEMNAS diadakan oleh mahasiswa jurusan Matematika Universitas Brawijaya .
Soal dan Solusi PEMNAS SMP
1.Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu dan \(3\) orang anak berturut turut dari yang paling tua adalah Toni, Tania dan Tina. Ayah dan Ibu nantinya ingin memiliki \(7\) orang cucu. Peluang bahwa Tania memiliki \(4\) anak atau Tina memiliki \(5\) anak adalah β¦(PEMNAS 2019)
a. \(\frac{1}{9}\)
b. \(\frac{7}{36}\)
c. \(\frac{1}{108}\)
d. \(\frac{1}{12}\)
Misalkan banyak anak Toni adalah \(π\), banyak anak Tania adalah \(π\), banyak anak Tina adalah \(π\). Karena Orang tuannya menginginkan \(7\) cucu maka
\(π+π+π=7\)
Dengan menggunakan teorema star bars, banyak kemungkinan \((π,π,π)\) adalah \({7+3β1}\choose{3β1}\)\(={9}\choose {2}\)\(=\frac{9!}{7!.2!}=\frac{9\times 8}{2}=36\) Selanjutnya. Jika Tania memiliki \(4\) anak atau \(π=4\), maka \(π+π=3\), banyak kemungkinan adalah \({3+2β1}\choose{2β1}\)=\({4}\choose {1}\)\(=4\) kemungkinan. Jika Tina memiliki \(5\) anak atau \(π=5\), maka \(π+π=2\), banyak kemungkinan adalah \({2+2β1}\choose{2β1}\)\(={3}\choose {1}\)\(=3\) kemungkinan Jadi Peluang bahwa Tania memiliki \(4\) anak atau Tina memiliki \(5\) anak adalah \(\frac{4+3}{36}=\frac{7}{36}\)
2. Sebuah kotak berisi 11 bola dan bola-bola tersebut dinomori 1, 2, 3, 4β¦, 11. Jika 6 buah bola diambil secara acak, peluang jumlah angka-angka yang diambil tersebut merupakan bilangan genap adalahβ¦(PEMNAS 2019)
a. \(\frac{72}{231}\)
b. \(\frac{27}{231}\)
c. \(\frac{53}{231}\)
d. \(\frac{35}{231}\)
\(A : \{2, 4, 6, 8, 10\}\) \(B : \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}\) Diambil \(6\) buah bola dan jumlah angkanya adalah genap, kemungkinannya: * Mengambil \(6\) bola ganjil ada \(1\) cara * Mengambil \(2\) genap dan \(4\) ganjil, banyak cara \({5}\choose{2}\)\({6}\choose {4}\)\(=(10)(15)=150\) cara * Mengambil \(4\) genap dan \(2\) ganjil, banyak cara \({5}\choose{4}\)\({6}\choose {2}\)\(=(5)(15)=75\) cara Banyak seluruh kemungkinan jika \(6\) bola diambil secara acak adalah \({11}\choose {6}\)\(=\frac{11!}{6!.5!}=462\) cara Jadi peluang terambilnya \(6\) bola berjumlah genap adalah \(\frac{1+150+75}{462}=\frac{226}{462}=\frac{113}{231}\)
3. Banyak digit dari \(1^2β2^2+3^2β4^2+β―+2019^2\) (PEMNAS 2019)
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
\(1^2β2^2+3^2β4^2+β―+2017^2β2018^2+2019^2\) \(=(-1)(1+2)+(-1)(3+4)+…+(-1)(2017+2018)+2019^2\) \(=β(1+2+3+4+β―+2018)+2019^2\) \(=β\frac{(2018(2019)}{2}+2019^2\) \(=2019^2β1009(2019)\) \(=2019(2019β1009)\) \(=2019(1010)=2039190\) Jadi banyak digitnya ada \(7\)
dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{π}{π}\), dengan \(πΉππ΅(π,π)=1\). Hasil dari \(π^πβ1\) adalah β¦(PEMNAS 2019)
a. \(2018\)
b. \(2^{2019}-1\)
c. \(1\)
d. \(0\)
Nilai dari \(π^4βπ^4\) adalah β¦(PEMNAS 2019)
a. 700
b. 7000
c. 350
d. 2019
\(π^4βπ^4=(π^2βπ^2)(π^2+π^2)=(π^2βπ^2)[(π+π)^2β2ππ)]\) Nilai \(π^2βπ^2\) dapat diperoleh dari \(πβπ=\frac{βπ(πβπ)β20}{π}\) \(βΉ(πβπ)π=βπ(πβπ)+20\) \(βΉπ(πβπ)+π(πβπ)=20\) \(βΉ(πβπ)(π+π)=20 βΉπ^2βπ^2=20\) Jadi \(π^4βπ^4=(π^2βπ^2)(π^2+π^2)=(π^2βπ^2)[(π+π)^2β2ππ)]\) \(=(20)(19^2β2(\frac{11}{2}))\) \(=20(350)=7000\)
6. Luas persegi panjang yang titik-titik sudutnya adalah titik potong kurva antara \(7π₯^2βπ¦^2β14π₯+4=0\) dan \(7π₯^2+3π¦^2β14π₯β12=0\) adalah β¦(PEMNAS 2019)
a. 2
b. 4
c. 8
d. 16
Titik diperoleh dari \(7π₯^2βπ¦^2β14π₯+4=7π₯^2+3π¦^2β14π₯β12\) \(βΉ16=3π¦^2+π¦^2\) \(βΉ4π¦^2=16\) \(βΉπ¦^2=4\) \(βΉπ¦=Β±2\) Subtitusi \(π¦^2=4\) ke persamaan \(7π₯^2βπ¦^2β14π₯+4=0\), diperoleh \(7π₯^2β4β14π₯+4=0\) \(βΉ7π₯^2β14π₯=0\) \(βΉ7π₯(π₯β2)=0 βΉπ₯=0\) atau \(π₯=2\) Diperoleh titik potong yaitu \((0, 2), (0,-2), (2, 2)\) dan \((2, -2)\)
Jadi luasnya adalah \(4\times 2=8\) satuan luas
7. Banyak factor prima dari \(3^{18}β2^{18}\). (PEMNAS 2019)
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
\(3^{18}β2^{18}=(3^9)^2β(2^9)^2\) \(=(3^9+2^9)(3^9β2^9)\) \(=((3^3)^3+(2^3)^3)((3^3)^3β(2^3)^3)\) \(=(27+8)(729β27.8+64)(27β8)(729+27.8+64)\) \(=35(577)(19)(1009)\) \(=5\times 7\times 577\times 19\times 1009\) Jadi banyak faktor prima dari \(3^{18}β2^{18}\) adalah \(5\)
8. Diketahui \(x\) dan \(y\) merupakan bilangan real positif yang memenuhi system persamaan berikut:
\(π₯βπ¦^2=3\)
\(π₯^2+π¦^4=13\)
Jika \(π₯=\frac{π+\sqrt{π}}{π}\), maka nilai dari \(\sqrt{π^{π^π}}\) adalah β¦
a. 0
b. 1
c. 83521
d. 83251
\(π₯βπ¦^2=3βΉπ¦^2=π₯β3βΉπ¦^4=(π₯β3)^2=π₯^2β6π₯+9\) Selanjutnya subtitusi \(π¦^4=π₯^2β6π₯+9\) ke persamaan \(π₯^2+π¦^4=13\), diperoleh \(βπ₯^2+π¦^4=13\) \(βπ₯^2+π₯^2β6π₯+9=13\) \(β 2π₯^2β6π₯β4=0\) \(β π₯^2β3π₯β2=0\) Gunakan rumus abc \(π₯=\frac{βπΒ±\sqrt{π^2β4ππ}}{2π}\) \(=\frac{3Β±\sqrt{9β4(1)(β2)}}{2}\) \(=\frac{3Β±\sqrt{17}}{2}\) Karena \(x\) positif maka yang memenuhi \(π₯=\frac{3Β±\sqrt{17}}{2}\), diperoleh \(a=3, b=17\) dan \(c=2\) Jadi nilai dari \(\sqrt{π^{π^π}}=\sqrt{17^{2^3}}=\sqrt{17^8}=17^4=83521\)
9. Digit satuan dari \(12^{2019}\times 36^{2018}\) adalah β¦.(PEMNAS 2019)
a. 1
b. 4
c. 7
d. 8
\((12^{2019}\times 36^{2018})\) mod \(10\)
\(=12^{2019\; πππ\; 4}\times 36^{2018\; πππ\; 4}\) mod \(10\) \(=2^3\times 6^2\) mod \(10\) \(=8\times 6\) mod \(10\) \(=8\)
10. Bilangan bulat \(π\) terbesar sedemikian sehingga \(55^π|2019!\) (PEMNAS 2019)
a. 183
b. 200
c. 502
d. 702
\(55^π|2019!\) Artinya \(\frac{2019!}{55^π}\) menghasilkan bilangan bulat. Gunakan teorema Legendre.
10. Dalam sebuah survei 90% dari responden anak SMP di kota X menyukai aktivitas sebagai berikut : menonton film, olahraga, dan membaca. Diberikan bahwa 45% suka film, 48% suka olahraga dan 35% persen suka membaca. Juga diberikan bahwa 12% menyukai film dan membaca, 20% hanya menyukai film, dan 15% hanya suka membaca. Persentase anak SMP yang menyukai ketiga aktivitas tersebut adalah β¦ % (PEMNAS 2016)
Buat diagram venn: Misalkan yang menyukai ketiganya adalah \(x\)
Berdasarkan diagram Venn di atas, maka diperoleh \(48\%+20\%+15\%+(12βπ₯)\%=90\%\) \(βΉ95\%βπ₯\%=90\%\) \(βΉπ₯=95\%β90\%=5\%\)
Jadi Persentase anak SMP yang menyukai ketiga aktivitas tersebut adalah \(5\%\)