WMI Preliminary Round 2021 [Grade 10A]

Karena \(\sqrt{16} < \sqrt{19}\), maka

\(19 + 5\sqrt{16} < 19 + 5\sqrt{19}\)
\(39 < 19 + 5\sqrt{19}\)

Karena \(\sqrt{19} < \sqrt{25}\), maka

\(19 + 5\sqrt{19} < 19 + 5\sqrt{25}\)
\(19 + 5\sqrt{19}<44\)

Selanjutnya

\(39 < 19 + 5\sqrt{19} < 44\)
\(36 < 39 < 19 + 5\sqrt{19} < 44 < 49\)

Sehingga diperoleh

\(6 < \sqrt{19 + 5\sqrt{19}} < 7\)

Jadi bilangan terkecilnya adalah \(6\)

Gradien \(=\frac{Δ𝑦}{Δ𝑥}\)
, dari gambar garis yang memiliki gradient negative adalah garis \(FG, GA\) dan \(DC\). Dengan melakukan obeservasi, pada garis \(FG\) nilai \(Δ𝑦 > Δ𝑥\), karena  \(\frac{Δ𝑦}{Δ𝑥}<0\)  maka nilai gradien garis \(FG\) adalah yang paling kecil

Untuk \(𝑥 = 0\)

\(𝑓(0) = 𝑎(−1)(−2)(−3) + 𝑏(−2)(−3) + 𝑐(−3) + 𝑑 = 5\)
\(⇒ −6𝑎 + 6𝑏 − 3𝑐 + 𝑑 = 5 … (1)\)

Untuk \(𝑥 = 1\)

\(𝑓(1) = 𝑏(−1)(−2) + 𝑐(−2) + 𝑑 = 2 − 3 − 8 + 5 = −4\)
\(⇒ 2𝑏 − 2𝑐 + 𝑑 = −4 … (2)\)

Untuk \(𝑥 = 2\)

\(𝑓(2) = 𝑐(−1) + 𝑑 = 16 − 12 − 16 + 5 = −7\)
\(⇒ −𝑐 + 𝑑 = −7 … (3)\)

Untuk \(𝑥 = 3\)

\(𝑓(3) = 𝑑 = 54 − 27 − 24 + 5 = 8\)
\(⇒ 𝑑 = 8\)

Subtitusi nilai \(𝑑\) ke persamaan (3), dan lanjutkan ke persamaan (2) dan (1) diperoleh nilai \(a, b, c\) berturut turut adalah \(2, 9\) dan \( 15\).
Jadi nilai dari \(4𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = 4(2) + 3(9) + 2(15) + 8 = 73\)

\(\begin{align}
\frac{8}{4×7}+\frac{8}{7×10}+\frac{8}{10×13}+ ⋯ +\frac{8}{61×64}&=8(\frac{1}{4 × 7}+\frac{1}{7 × 10}+\frac{1}{10 × 13}+ ⋯ +\frac{1}{61 × 64})\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}−\frac{1}{7}+\frac{1}{7}−\frac{1}{10}+\frac{1}{10}−\frac{1}{13}+ ⋯ +\frac{1}{61}−\frac{1}{64}\right)\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}−\frac{1}{64}\right)\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{16 − 1}{64}\right)\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{15}{64}\right)\\
&=\frac{5}{8}\\
\end{align}\)

Rumus identitas trigonometri \(\cos^2 𝜃 + \sin^2 𝜃 = 1\)

\((\cos 𝜃 + \sin 𝜃)^2 = \cos^2 𝜃 + 2\cos 𝜃 \sin 𝜃 + \sin^2 𝜃 = 1\)
\(2 \cos 𝜃 \sin 𝜃 + 1 = 1\)
\(\cos 𝜃 \sin 𝜃 = 0\)

\(𝑓(1) = (\cos 𝜃 + \sin 𝜃) = −1\)
\(𝑓(2) = \cos^2 𝜃 + \sin^2 𝜃 = 1\)
\(𝑓(3) = \cos^3 𝜃 + \sin^3 𝜃 = (\cos 𝜃 + \sin 𝜃)(\cos^2 𝜃 − \cos 𝜃 \sin 𝜃 + \sin^2 𝜃) = (−1)(1 − 0) = −1\)
\(𝑓(4) = \cos^4 𝜃 + \sin^4 𝜃 = (\cos^2 𝜃 + \sin^2 𝜃)^2 − 2\cos^2 𝜃 \sin^2 𝜃 = 1 − 0 = 1\)
…
diperoleh

\(𝑓(𝑛) = \begin{cases}1, & \text{𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝}\\−1, & \text{𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙}\end{cases}\)

Jadi nilai dari
\(𝑓(2) − 𝑓(3) − 𝑓(5) + 𝑓(10) + 𝑓(18) = 1 − (−1) − (−1) + 1 + 1 = 5\)

Misalkan suku pertama pada barisan aritmatika dan geometri adalah \(𝑝\) 𝑑𝑎𝑛 \(𝑞\), beda dan rasio pada kedua barisan adalah \(𝑏\) dan \(𝑟\), selanjutnya
untuk barisan aritmetika

\(𝑎_4 = 𝑝 + 3𝑏 = 9\)
\(𝑎_7 = 𝑝 + 6𝑏 = 72\)

Eliminasi keduanya diperoleh \(𝑝 = −54\) dan \(𝑏 = 21\)

Untuk barisan geometri

\(𝑏_4 = 𝑞𝑟^3 = 9\)
\(𝑏_7 = 𝑞𝑟^6 = 72\)

Bagi kedua persamaan diperoleh \(𝑟 = 2\) dan \(𝑞 =\frac{9}{8}\)

Jadi nilai \(𝑎_9 + 𝑏_9 = 𝑝 + 8𝑏 + 𝑞𝑟^8 = −54 + 8(21) + \frac{9}{8}(2)^8 = 114 + 288 = 402\)

karena konstantanya 3, maka kemungkinan Akar-akarnya adalah 1, 3 dan -1

\(𝑥^3 + 𝑚𝑥^2 + 𝑛𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0\)
\((𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0\)
\((𝑥^2 − 1)(𝑥 − 3) = 0\)
\(𝑥^3 − 3𝑥^2 − 𝑥 + 3 = 0\)

Samakan dengan persamaan \(𝑥^3 + 𝑚𝑥^2 + 𝑛𝑥 + 3 = 0\), diperoleh \(𝑚 = −3\) dan \(𝑛 = −1\).

jadi nilai dari \(3𝑚 − 4𝑛\) adalah \(3(−3) − 4(−1) = −9 + 4 = −5\)

\(𝑎_{2021} =\frac{2021}{7}= 288,714285714285 …\)

Angka setelah koma membentuk pengulangan \(714285714285….\), berulang setiap 6 angka, maka untuk angka ke\(-2021\)

\(2021\; 𝑚𝑜𝑑\; 6 ≡ 5\)

Angka ke\(-2021\) sama saja dengan angka ke\(-5\) pada pola bilangan di atas yaitu angka \(8\)

\(𝑎_{𝑛+1} = 𝑎_𝑛 + (3𝑛 + 2)\)
\(𝑎_{𝑛+1} − 𝑎_𝑛 = (3𝑛 + 2)\)

Selanjutnya

\(𝑎_2 − 𝑎_1 = 3(1) + 2\)
\(𝑎_3 − 𝑎_2 = 3(2) + 2\)
\(𝑎_4 − 𝑎_3 = 3(3) + 2\)
\(𝑎_5 − 𝑎_4 = 3(4) + 2\)
\(….\)
\(𝑎_{20} − 𝑎_{19} = 3(19) + 2\)

Jumlahkan persamaan di atas diperoleh

\(𝑎_{20} − 𝑎_1 = 3(1 + 2 + 3 + ⋯ + 19) + 2(19) = 570 + 38\)
\(𝑎_{20} − 5 = 570 + 38\)
\(𝑎_{20} = 570 + 38 + 5 = 613\)