Problems and Solutions TIMO HEAT ROUND 2020-2021 Secondary 2

\(|𝑥 − 6| + 𝑦^2 − 6𝑦 + 9 = 0\)
\(|𝑥 − 6| + (𝑦 − 3)^2 = 0\)
Karena \(|𝑥 − 6| ≥ 0\) dan \((𝑦 − 3)^2 ≥ 0\), maka jelas bahwa \(𝑥 − 6 = 0\) dan \(𝑦 − 3 = 0\), diperoleh
\(𝑥 = 6\) dan \(𝑦 = 3\).
Jadi nilai dari \(3𝑥 − 𝑦 = 3(6) − 3 = 15\)

\(𝑓(−4) = −10 ⇒ 16𝑎 − 4𝑏 + 𝑐 = −10 … (1)\)
\(𝑓(4) = 22 ⇒ 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 22 … (2)\)
\(𝑓(−2) = 1 ⇒ 4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 1 … (3)\)
Nilai yang dicari adalah \(𝑓(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐\)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
\(16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 22\)
\(16𝑎 − 4𝑏 + 𝑐 = −10\)
__________________________ −
\(8𝑏 = 32 ⟹ 𝑏 = 4\)
Subtitusi nilai \(𝑏\) ke persamaan (3)
\(4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 1\)
\(4𝑎 − 8 + 𝑐 = 1\)
\(4𝑎 + 𝑐 = 9\)
Jadi nilai dari \(𝑓(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17\)

Faktorisasi prima dari \(1092 = 22 × 3 × 7 × 13\)
Jumlah semua factor adalah \((1 + 2 + 22)(1 + 3)(1 + 7)(1 + 13) = 7 × 4 × 8 × 14 = 3136\)

\(119^{256}\; mod\; 12 ≡ 11^{256}\; mod\; 12 ≡ (−1)^{256}\; mod\; 12 ≡ 1\; mod\; 12 ≡ 1\)

\(𝐴 = 8 + 50 + 344 + ⋯ + (7^{44} + 1) + (7^{45} + 1)\)
\(= (7^1 + 1) + (7^2 + 1) + (7^3 + 1) + ⋯ + (7^{44} + 1) + (7^{45} + 1)\)
\(= [(7^1 + 7^2 + 7^3 + ⋯ + 7^{45}) + 45]\;𝑚𝑜𝑑\; 10\)
\(= [7 + 45]\; 𝑚𝑜𝑑\; 10\)
\(= 2\)

\(𝑥 = 4 − \frac{6}{1+\frac{6}{4−\frac{6}{1+\frac{6}{4−⋯}}}}\)

\(𝑥 = 4 − \frac{6}{1+\frac{6}{4−x}}\)

\(𝑥 – 4 = − \frac{6}{1+\frac{6}{4−x}}\)

\((x-4)(1+\frac{6}{x})=-6\)

\(x+6-4-\frac{24}{x}=0\)

\(x^2 + 8x – 24=0\)

\((x+4)^2-16-24=0\)

\(x+4=±\sqrt{40}\)

Karena \(𝑥 > 0\), maka \(𝑥 = \sqrt{40} − 4 = 2\sqrt{10} − 4\)

\(\frac{7}{15}<\frac{𝑥}{𝑦}<\frac{11}{18}\)

\(\frac{42}{90}<\frac{𝑥}{𝑦}<\frac{55}{90}\)

Nilai \(\frac{𝑥}{𝑦}\) yang memenuhi adalah \({\frac{43}{90},\frac{44}{90},\frac{45}{90}, … ,\frac{54}{90}}\), karena nilai \(y\) minimum maka kita pisahkan pecahan yang bisa disedehanakan yaitu \(\frac{45}{90},\frac{48}{90},\frac{50}{90},\frac{51}{90}\) dan \(\frac{54}{90}\) , dari pecahan tersebut yang memiliki nilai minimum \(y\) yaitu \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), jadi nilai \(x\) adalah \(1\)

Eliminasi
\(9𝑥 + 4𝑦 = 108\)
\(3𝑥 − 4𝑦 = −12\)
____________________ +
\(12𝑥 = 96 ⇒ 𝑥 = 8\)
Subtitusi nilai \(x = 8\) ke persamaan
\(3𝑥 − 4𝑦 = −12\)
\(24 − 4𝑦 = −12\)
\(−4𝑦 = −36 ⇒ 𝑦 = 9\)
diperoleh titik potong kedua garis adalah \((8, 9)\)

dari keterangan gambar terlihat bahwa tinggi segitiga adalah 9 satuan dan alasnya adalah 16 satuan.
Luas daerahnya adalah \(\frac{1}{2}(16)(9) = 72\)