Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 5

Banyak himpunan \(S\) yang dapat dibentuk adalah \(8!\)
Anggota himpunan \(S\) yang dapat dibagi \(36\) memenuhi syarat harus habis dibagi \(9\) dan \(4\)

Syarat habis dibagi \(9\), jumlah digitnya kelipatan \(9\)
\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\), karena \(36\) habis dibagi \(9\) maka semua anggota
himpunan \(S\) habis dibagi \(9\)

Syarat habis dibagi \(4\), dua angka terakhir habis dibagi \(4\).
Banyak susunan dua digit yang habis di bagi \(4\), yang tersusun dari angka \(1, 2, 3, 4, 5, 6,
7\), dan \(8\) adalah \(12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84\). Ada \(14\) bilangan

Banyaknya bilangan yang habis dibagi \(36\) adalah \(6!.14\).
Jadi peluang terambilnya bilangan yang habis dibagi \(36\) adalah \(\frac{m}{n}=\frac{6!.14}{8!}=\frac{14}{8.7}=\frac{1}{4}\)
Nilai dari \(𝑚 + 𝑛 = 1 + 4 = 5\).

Menurut teorema sisa, \(𝑓(𝑥)\) habis dibagi \(𝑥 − 𝑎 \) dan bersisa \(𝑓(𝑎)\),
Misalkan \(𝑓(𝑚) = 𝑚^5 + 5^5\) maka \(𝑓(𝑚)\) ketika dibagi \(𝑚 − 5\) bersisa \(𝑓(5) = 5^5 + 5^5 = 6250\).
Kita dapat simpulkan bahwa agar \(𝑚^5 + 5^5\) habis dibagi oleh \(𝑚 – 5\) maka \(6250\) habis dibagi
\(𝑚 – 5\). Nilai \(𝑚\) terbesar yang memenuhi adalah \(6255\).
Jadi \(3\) angka terakhir dari \(6255\) adalah \(255\).

\(𝑥𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 = 2 ⟹ (𝑥 + 2)(𝑦 + 3) − 6 = 2 ⟹ (𝑥 + 2)(𝑦 + 3) = 8\)
Nilai \((𝑥, 𝑦)\) yang memenuhi adalah \((0, 1)\),
subtitusi \(y=1\) ke \(𝑦𝑧 + 4𝑦 + 3𝑧 = 52\).diperoleh \(𝑧 + 4 + 3𝑧 = 52 ⟹ 4𝑧 = 48 ⟹ 𝑧 = 12\).
Selanjutnya, nilai
\(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 1)(𝑦 + 1)(𝑧 + 1) − 1\)
\(= (1)(2)(13) − 1\)
\(= 26 − 1 = 25\)
Jadi nilai dari \(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦𝑧\) adalah \(25\)

\((𝑤 − 1)(𝑤 + 1) = 𝑤\)
\(𝑤^2 − 1 = 𝑤\) atau \(𝑤^2 − 𝑤 = 1\)
\(𝑤^2 = 𝑤 + 1\) atau \(\frac{1}{𝑤} = 𝑤 − 1\)
Sekarang kita cari \(𝑤^2 + 𝑤^{−2}\)
\(𝑤^2 + 𝑤^{−2} = 𝑤 + 1 + (𝑤 − 1)^2\)
\(= 𝑤 + 1 + 𝑤^2 − 2𝑤 + 1\)
\(= 𝑤^2 − 𝑤 + 2\)
\(= 1 + 2 = 3\)
Kuadratkan \(𝑤^2 + 𝑤^{−2}\)
\((𝑤^2 + 𝑤^{−2})^2 = 𝑤^4 + 𝑤^{−4} + 2 = 9\)
\(𝑤^4 + 𝑤^{−4} = 7\)
Kalikan \(𝑤^2 + 𝑤^{−2}\) dan \(𝑤^4 + 𝑤^{−4}\)
\((𝑤^2 + 𝑤^{−2}) \times (𝑤^4 + 𝑤^{−4}) = 𝑤^6 + 𝑤^{−2} + 𝑤^2 + 𝑤^{−6} = 3(7) = 21\)
\(= 𝑤^6 + 𝑤^{−6} + 3 = 21\)
\(= 𝑤^6 + 𝑤^{−6}=18\)
Kalikan \(𝑤^4 + 𝑤^{−4}\) dan \(𝑤^6 + 𝑤^{−6}\)
\((𝑤^4 + 𝑤^{−4}) \times (𝑤^6 + 𝑤^{−6}) = 𝑤^{10} + 𝑤^{−10} + 𝑤^2 + 𝑤^{−2} = 7(18)\)
\(= 𝑤^{10} + 𝑤^{−10} + 3 = 126\)
\(= 𝑤^{10} + 𝑤^{−10} = 123\)

\(𝑛^2 + 𝑛 + 109 = (𝑛 + 𝑘)^2 = 𝑛^2 + 2𝑛𝑘 + 𝑘^2\)
\(𝑛 + 109 = 2𝑛𝑘 + 𝑘^2\)
\(𝑛 − 2𝑛𝑘 = 𝑘^2 − 109\)
\(𝑛(1 − 2𝑘) = 𝑘^2 − 109\)
\(𝑛 =\frac{𝑘^2−109}{1−2𝑘}=\frac{109−𝑘^2}{2𝑘−1}\)
Kita selidiki dengan menggunakan tabel

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	108	35	20	–	–	–	–	–	–	–

untuk \(k≥10\) tidak memenuhi karena \(n<1\)
Jadi banyaknya bilangan bulat positif \(n\) yang memenuhi ada \(3\) yaitu \(108,35\) dan \(20\)

Bilangan prima kurang dari \(100\)
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\)
Misalkan bilangan \(bagus\) adalah \(𝑛\), maka \(𝑛 − 2\) dan \(𝑛 + 2\) adalah bilangan prima,
\((𝑛 + 2) − (𝑛 − 2) = 4\), artinya bahwa bilangan \(bagus\) berada di tengah \(2\) bilangan prima
berselisih \(4\). Dengan demikian yang memenuhi adalah: \(5, 9, 15, 21, 39, 45, 69, 81\).
Jadi jumlah semua bilangan \(Bagus\) kurang dari \(100\) adalah \(284\)

Syarat habis dibagi \(9\) dan jumlah digitnya kelipatan \(9\), karena bersisa \(7\) maka jumlah
digitnya kelipatan \(9\) dikurangi \(2\).
\(2 + 8 + 𝐴 + 9 + 𝐵 = 19 + 𝐴 + 𝐵 = 9𝑘 − 2\), untuk \(𝑘\) bilangan asli, diperoleh
\(19 + 𝐴 + 𝐵 = 25\) atau \(19 + 𝐴 + 𝐵 = 34\)
\(𝐴 + 𝐵 = 6\) atau \(𝐴 + 𝐵 = 15\)

Syarat habis dibagi \(5\) adalah satuannya \(0\) atau \(1\), karena bersisa \(1\) maka satuannya adalah \(1\) atau \(6\), artinya bahwa nilai \(𝐵 \) yang mungkin adalah \(1\) atau \(6\).

Gabungkan dua syarat di atas, untuk \(𝐵 = 6\) tidak memenuhi untuk \(𝐴 + 𝐵 = 6\) karena
menyebabkan \(𝐴 = 0\). Untuk \(B = 6\) di \(𝐴 + 𝐵 = 15\) diperoleh \(𝐵 = 9\), ini juga tidak memenuhi
karena digit \(9\) sudah digunakan. Dengan demikian yang mungkin adalah \(𝐵 = 1\) dan \(𝐴 =
5\). Jadi nilai \(𝐴 − 𝐵 = 4\).

Misalkan umur Alan \((𝐴) = 4𝑥\) dan umur Burhan \((𝐵) = 𝑥\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{4𝑥}{1𝑥}\)
Empat tahun yang akan datang
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{4𝑥+4}{1𝑥+4}=\frac{2}{1}\)
\(4𝑥 + 4 = 2𝑥 + 8\)
\(2𝑥 = 4\)
\(𝑥 = 2\)
Umur Alan dan Burhan sekarang adalah \(8\) tahun dan \(2\) tahun
Misalkan \(y\) tahun lagi perbandingan umur Alan dan Burhan \(3 : 1\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{𝐴+𝑦}{𝐵+𝑦}=\frac{3}{1}⟹\frac{8+𝑦}{2+𝑦}=\frac{3}{1}\)
\(8 + 𝑦 = 6 + 3𝑦\)
\(2𝑦 = 2\)
\(𝑦 = 1\)
Jadi \(1\) tahun lagi perbandingan umur Alan dan Burhan menjadi \(3 : 1\)

Perhatikan bahwa \(Δ𝐴𝐸𝐹 ≈ Δ𝐶𝐷𝐹\) maka berlaku perbandingan
\(\frac{𝐸𝐹}{𝐷𝐹}=\frac{𝐴𝐸}{𝐶𝐷}⟹\frac{𝐸𝐹}{𝐷𝐹}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Misalkan \(𝐸𝐹 = 𝑥 \)maka \(𝐷𝐹 = 2𝑥\)
Panjang \(𝐸𝐷 = 𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥\)
Karena \(Δ𝐴𝐸𝐷\) adalah segitiga siku-siku, dengan menggunakan rumus Pythagoras
\(𝐸𝐷 = \sqrt{𝐴𝐸^2 + 𝐴𝐷^2}\)
\( = \sqrt{2^2 + (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{4 + \frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{41}{4}}\)
\(3x=\sqrt{\frac{41}{4}}⟹ 𝑥=\frac{\sqrt{41}}{6}⟹ x^2=\frac{41}{36}=\frac{a}{b}\)
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑏\) adalah \(41 + 36 = 77\)

\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 = 14(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)\)
\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 = 14𝑎 + 14𝑏 + 14𝑐\)
\(𝑎^2 − 14𝑎 + 𝑏^2 − 14𝑏 + 𝑐^2 − 14𝑐 = 0\)
\((𝑎 − 7)^2 − 49 + (𝑏 − 7)^2 − 49 + (𝑐 − 7)^2 − 49 = 0\)
\((𝑎 − 7)^2 + (𝑏 − 7)^2 + (𝑐 − 7)^2 = 147\)
Merupakan penjumlahan bilangan-bilangan kuadrat yang hasilnya \(147\), bilangan kuadrat yang
mungkin adalah \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\).
Yang memenuhi \((𝑎 − 7)^2 + (𝑏 − 7)^2 + (𝑐 − 7)^2 = 147\) adalah \(121 + 25 + 1 = 11^2 + 5^2 +
1^2 = 147\). Diperoleh \(𝑎 = 18, 𝑏 = 12\) dan \(𝑐 = 8\).
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 18 + 12 + 8 = 38\).

Dengan menggunakan rumus Pythagoras segitiga siku-siku diperoleh,
\(𝑎^2 + (2𝑎 + 2𝑑)^2 = (2𝑎 + 3𝑑)^2\)
\(𝑎^2 + 4𝑎^2 + 8𝑎𝑑 + 4𝑑^2 = 4𝑎^2 + 12𝑎𝑑 + 9𝑑^2\)
\(𝑎^2 − 4𝑎𝑑 − 5𝑑^2 = 0\)
\((𝑎 + 𝑑)(𝑎 − 5𝑑) = 0\)
\(𝑎 = −𝑑 \)atau \(𝑎 = 5𝑑\)  karena \(𝑎 \) dan \(𝑑 \) positif maka yang memenuhi adalah \(𝑎 = 5𝑑\)
Jadi nilai dari \(\frac{𝑎}{𝑑}= 5\).

\(\frac{1+\frac{1+\frac{1+\frac{…}{2020}}{2020}}{2020}}{2020}=x\), maka
\(\frac{1+x}{2020}=x⟹ 1 + 𝑥 = 2020𝑥 ⟹ 2020𝑥 − 𝑥 = 1 ⟹ 2019𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 =\frac{1}{2019}\)
jadi
\(\frac{1+\frac{1+\frac{1+\frac{…}{2020}}{2020}}{2020}}{2020}+\frac{2018}{2019}=\frac{1}{2019}+\frac{2018}{2019}=\frac{2019}{2019}=1\)

\(2\sqrt{5\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\sqrt{99}-2\sqrt{2\frac{3}{4}}=\sqrt a\)
\(⟹2\sqrt{\frac{11}{2}}+\frac{1}{3}\sqrt{9\times 11}-2\sqrt{\frac{11}{4}}=\sqrt a\)
\(⟹\sqrt{4\times\frac{11}{2}}+\frac{1}{3}.3\sqrt{11}-\sqrt{4\times\frac{11}{4}}=\sqrt a\)
\(⟹\sqrt{22}+\sqrt{11}-\sqrt{11}=\sqrt{22}=\sqrt a\)
jadi nilai \(a\) yang memenuhi adalah \(22\)

Misalkan bilangan itu adalah \(\overline{𝑎𝑏7}\), karena habis dibagi \(11\) maka berlaku
\(𝑎 + 7 − 𝑏 = 𝑘. 11\) untuk \(𝑘\) bilangan bulat.
* Kasus \(1\) : untuk \(𝑘 = 0\)
\(𝑎 + 7 − 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎 + 7 = 𝑏\)
Pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi \((1,8)\) dan \((2,9)\)

* Kasus \(2\) : untuk \(𝑘 = 1\)
\(𝑎 + 7 − 𝑏 = 11 ⟹ 𝑎 − 𝑏 = 4\)
Pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi \((4,0), (5,1), (6,2), (7,3), (8,4), (9,5)\)

Karena banyaknya pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi ada \(8\) pasangan maka banyak bilangan \(3\) angka yang memenuhi kondisi di atas ada \(8\) bilangan.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras
\(𝐴𝐵 = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\)
Jadi jarak terdekat \(𝐴\) dan \(𝐵\) adalah \(17\)

Rumus luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi \(𝑠\) adalah \(\frac{1}{4}𝑠^2\sqrt 3\)
Luas \(𝐴𝐵𝐶 =\frac{1}{4}𝐴𝐵^2\sqrt 3 =\frac{1}{4}\times 12^2 \times \sqrt 3 = 36\sqrt 3\).
\([𝐴𝐵𝐶] = [AOB] + [BOC] + [AOC]\)
\(=\frac{1}{2} 𝐴𝐵. 𝑂𝐷 +\frac{1}{2}𝐵𝐶. 𝑂𝐸 +\frac{1}{2}𝐴𝐶. 𝑂𝐹 = 36\sqrt 3\)
\(=\frac{1}{2}.12 .3\sqrt 3 +\frac{1}{2}.12.2\sqrt 3 +\frac{1}{2}.12.𝑂𝐹 = 36\sqrt 3\)
\(= 18\sqrt 3 + 12\sqrt 3 + 6. 𝑂𝐹 = 36\sqrt 3\)
\(= 30\sqrt 3 + 6. 𝑂𝐹 = 36\sqrt 3\)
\(= 6. 𝑂𝐹 = 6\sqrt 3\)
\(= 𝑂𝐹 = \sqrt 3\)
\(= 𝑂𝐹 ^2=  3\)

Karena \(3𝐴𝐵 = 2𝐷𝐸 = 2𝑀𝐿\) maka berlaku \(𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐷𝐸 = 𝑀𝐿 = 3𝑎\).
Karena \(𝐷𝐸 = 𝑀𝐿 = 3𝑎\) maka panjang \(𝑀𝐾 = 𝐷𝐹 = 𝐴𝐶 = 6𝑎\).
\(𝐸𝐹 = 𝐷𝐹 – 𝐷𝐸 = 6𝑎 – 3𝑎 = 3𝑎\)
Selanjutnya
\(𝑀𝐹 = 36 ⟹ 𝑀𝐿 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 = 3𝑎 + 3𝑎 + 3𝑎 = 36\)
\(⟹ 9𝑎 = 36 ⟹ 𝑎 = 4\)
Dengan demikian panjang \(𝑥\) atau \(𝐴𝐹\)
\( 𝐴𝐹 = 𝑥 = 𝐴𝐵 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 = 2𝑎 + 3𝑎 + 3𝑎 = 8𝑎 = 8(4) = 32\)

\(A = \underbrace{8+8+8+ …+8}_{\mbox{1024}}=1024\times 8=2^10\times{2^3}=2^{13}\)
\(B=\underbrace{2\times 2\times 2\times 2\times … \times 2}_{\mbox{2003}}=2^{2003}\)
Nilai dari \(𝐴. 𝐵 = 2^{13} × 2^{2003} = 2^{2016}\) didapat \(𝑛 = 2016\)
Angka satuan dari \(𝐴. 𝐵 = 2^{2016} = 2^{2016 𝑚𝑜𝑑 4}𝑚𝑜𝑑 10 = 2^{4} 𝑚𝑜𝑑 10 = 6 = 𝑚\)
Jadi nilai dari \(𝑚 + 𝑛\) adalah \(6 + 2016 = 2022\).

Misalkan populasi kota \(A\) mula-mula adalah \(N\)
Pada tahun \(2017\) terjadi peningkatan \(25\%\) menjadi \(N + 25\%N = 1,25N\)
Pada tahun \(2018\) terjadi peningkatan \(20\%\) menjadi \(1,25N + 20\%(1,25N) = 1,50N\)
Pada tahun \(2019\) terjadi pengurangan \(20\%\) menjadi \(1,50N – 20\%(1,50N) = 1,20N\)
Pada tahun \(2020\) terjadi pengurangan \(25\%\) menjadi \(1,20N – 25\%(1,20N) = 0,9N\)
Pengurangan populasi selama \(4\) tahun terakhir adalah \(N – 0,9N = 0,1N\)
Jadi persentase pengurangan populasi adalah \(\frac{0,1𝑁}{𝑁}\times 100\% = 10\%\)

Dengan menggunakan pembagian bersusun:

Diperoleh \(\frac{𝑛^3−1}{𝑛−4}= 𝑛^2 + 4𝑛 + 16 +\frac{52}{𝑛−4}\)
, agar menghasilkan bilangan bulat maka \(𝑛 − 4\)
harus merupakan faktor dari \(52\), nilai \(𝑛 − 4\) yang memenuhi \(\{ 1, 2, 4, 13, 26, 52\}\)
Jadi banyaknya nilai \(𝑛\) yang memenuhi ada \(6\) bilangan.