Soal Lomba Matematika MCR Tingkat SMA

\(\begin{align}
44444^{44444} &= (4 × 11111)^{44444}\\
&= 4^{44444} × 11111^{44444}\\
&= 2^{88888} × 11111^{44444}\\
&= (2^3)^{29629} × 2 × 11111^{44444}\\
&= (8)^{29629} × 2 × 11111^{44444}\\
\end{align}\)

Nilai \(n\) terbesar yang memenuhi adalah \(29629\)

• \(𝐴𝐵𝐴𝐵 = 100𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7 ⟹ 2𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 ≡ 3𝐴𝐵 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
  Kemungkinan nilai \(AB\) adalah \(\{14, 21, 28, 35, 42, 56, 63, 70\}\)
• \(AADD = 100𝐴𝐴 + 𝐷𝐷 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 13 ⟹ 9𝐴𝐴 + 𝐷𝐷 = 9(10𝐴 + 𝐴) + 10𝐷 + 𝐷 = 99𝐴 + 11𝐷 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 13 ⟹ 11(9𝐴 + 𝐷) ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 13, 9𝐴 + 𝐷\) merupakan kelipatan \(13\), Kemungkinan nilai \((A, D) = \{(1, 4), (2, 8), (4, 3), (7, 2)\}\)
• \(ACCA = 1001A + 110C ≡ 0\; mod\; 91 ⇒ 19𝐶 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 91\), nilai \(C\) yang memenuhi adalah \(0\).

Karena \(A + B + C + D = 11\), dari keterangan di atas kemungkian nilai \(A, B, C\) dan \(D\) adalah \(2, 1, 0\) dan \(8\),

Jadi nilai dari \(ABAB – AADD + ACCA = 2121 – 2288 + 2002 = 1835\)

Berdasarkan pola, suku tengah tiap grup diperoleh dari jumlah suku awal ditambah suku akhir dibagi dua.
Barisan suku awal \(: 2, 4, 10, 20, …\)
Barisan suku akhir \(: 2, 8, 18, 32, …, 2𝑛^2\)
Untuk barisan suku awal, pola suku awal pada tiap grup
\(2 = 2\)
\(4 = 2 + 2(1)\)
\(10 = 2 + 2 + 6 = 2 + 2(1+3)\)
\(20 = 2 + 2 + 6 + 10 = 2 + 2(1+3+5)\)
Suku pertama pada barisan ke-n adalah \(2 + 2((𝑛 − 1)^2) = 2 + 2(𝑛^2 − 2𝑛 + 1) = 2𝑛^2 − 4𝑛 + 4\)
Jadi suku tengah pada grup ke-n adalah \(\frac{2𝑛^2−4𝑛+4+2𝑛^2}{2}= 2𝑛^2 − 2𝑛 + 2\)

Misalkan Umur Joko \(\overline{ab} = 10𝑎 + 𝑏\) dan umur Joni \(\overline{ba} = 10b + a\).
Lima tahun lagi umur Joko akan menjadi dua kali umur Joni pada saat itu, dapat ditulis dalam persamaan
\(10𝑎 + 𝑏 + 5 = 2(10𝑏 + 𝑎 + 5)\)
\(⇒ 10𝑎 + 𝑏 + 5 = 20𝑏 + 2𝑎 + 10\)
\(⇒ 8𝑎 = 19𝑏 + 5\)
\(19𝑏 + 5 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 8 ⇒ 3𝑏 + 5 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 8\), kemungkinan nilai \(b\) yang memenuhi adalah \(\{1, 9\}\),
untuk \(𝑏 = 9\) tidak memenuhi karena \(𝑎 > 9\), nilai \(b\) yang memenuhi adalah \(1\), subtitusi \(b\) ke
persamaan \(8𝑎 = 19𝑏 + 5\), diperoleh \(𝑎 = 3\).
Umur Joko sekarang adalah \(31\) tahun dan Joni \(13\) tahun, jadi perbedaan usia mereka saat ini adalah \(31 – 13 = 18\) tahun

\(\frac{2}{𝑝 + 𝑞}=\frac{1}{𝑞}−\frac{1}{𝑝}\)
\(⇒\frac{2}{𝑝 + 𝑞}=\frac{𝑝 − 𝑞}{𝑝𝑞}\)
\(⇒ 2𝑝𝑞 = (𝑝 − 𝑞)(𝑝 + 𝑞)\)
\(⇒ 2𝑝𝑞 = 𝑝^2 − 𝑞^2\)
\(⇒ 𝑝^2 − 𝑞^2 − 2𝑝𝑞 = 0\)
\(⇒ (𝑝 − 𝑞)^2 − 2𝑞^2 = 0\)
\(⇒ (𝑝 − 𝑞)^2 = 2𝑞^2\)
Karena \(𝑝 > 𝑞 > 0\), maka
\(⇒ 𝑝 − 𝑞 = 𝑞\sqrt 2\)
\(⇒ 𝑝 = 𝑞\sqrt 2 + 𝑞 = 𝑞(\sqrt 2 + 1)\)
\(⇒\frac{𝑞}{𝑝}=\frac{1}{\sqrt 2 + 1}×\frac{\sqrt 2 − 1}{\sqrt 2 − 1}= \sqrt 2 − 1\)
\(⇒\frac{𝑞^2}{𝑝^2} = (\sqrt 2 − 1)^2 = 3 − 2\sqrt 2\)