\(𝑛 < \sqrt{2022} < 𝑛 + 1\)
\(\sqrt{44^2} < \sqrt{2022} < \sqrt{2025}\)
\(\sqrt{44^2} < \sqrt{2022} < \sqrt{45^2}\)
\(44 < \sqrt{2022} < 45\)

Sehingga diperoleh nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(44\)

Keliling bangun yang terpotong sama saja dengan keliling persegi panjang ABCD

\(𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2(𝑝 + 𝑙) = 2(3𝑥 + 1 + 2𝑥 + 1) = 2(5𝑥 + 2) = 10𝑥 + 4\)

Dengan menggunakan sifat garis lurus, sudut saling bertolak belakang dan jumlah sudut segitiga diperoleh \(∠2 = 95°\)

\(𝐴B= \sqrt{6} + 1 ⇒ 𝐴𝐵^2 = 6 + 1 + 2\sqrt{6} = 7 + \sqrt{24}\)
\(𝐵C= 2 + \sqrt{3} ⇒ 𝐵𝐶^2 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 7 + \sqrt{48}\)
\(𝐴C= \sqrt{2} + \sqrt{5} ⇒ 𝐴𝐶^2 = 2 + 5 + 2\sqrt{10} = 7 + \sqrt{40}\)
Hubungan panjang sisi \(𝐵C > 𝐴C > AB\),karena panjang sisi berbanding lurus dengan besar sudut maka hubungan ketiga sudut segitiga adalah \(∠𝐴 > ∠𝐵 > ∠𝐶\)

\(𝑎, 𝑏, 48, 𝑐, 𝑑\) and \(30\) adalah barisan aritmatika dengan beda = \(𝑛\)
\(𝑎 = 48 − 2𝑛\)
\(𝑏 = 48 − 𝑛\)
\(𝑐 = 48 + 𝑛\)
\(𝑑 = 48 + 2𝑛\)
\(30 = 48 + 3𝑛 ⇒ 𝑛 = −6\)
\(𝑏, 𝑥, 𝑑,\) and \(𝑦\) membentuk barisan geometri, maka berlaku
\(\frac{𝑥}{𝑏}=\frac{𝑑}{𝑥}=\frac{𝑦}{𝑑}\)
\(\frac{𝑥}{48 − 𝑛}=\frac{48 + 2𝑛}{𝑥}\)
\(⇒\frac{𝑥}{54}=\frac{36}{𝑥}\)
\(⇒ 𝑥^2 = 54(36) ⇒ 𝑥 = \sqrt{9.6.36} = 18\sqrt{6}\)
Selanjutnya
\(\frac{𝑑}{𝑥}=\frac{𝑦}{𝑑}\)
\(⇒\frac{36}{18\sqrt{6}}=\frac{𝑦}{36}\)
\(⇒ 𝑦=\frac{36(36)}{18\sqrt{6}}=\frac{72}{\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=12\sqrt{6}\)

Pertama tarik 3 garis lurus pada ketika titik sudut diantara garis L dan M  yang sejajar garis L dan M, lalu gunakan sifat sudut sehadap sampai mendapatkan posisi ∠1 + ∠2 + ∠3 dan bagian akhir gunakan sifat sudut bersebrangan dalam.

Dari gambar terbawah besar sudut \(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°\)

Jadi ada 3 titik sedemikian sehingga dapat membentuk segitiga siku-siku sama kaki

misalkan \(𝐴𝑂 = 𝑥\), diperoleh \(𝑃𝑂 = 𝑥 − 7\), gunakan rumus Pythagoras pada segitiga \(𝑃𝑂𝐵\)

\(𝐵𝑃 = \sqrt{𝑂𝐵^2 + 𝑂𝑃^2} = \sqrt{𝑥^2 + (𝑥 − 7)^2} = 13\)
\(⇒𝑥^2 + 𝑥^2 − 14𝑥 + 49 = 132\)
\(⇒2𝑥^2 − 14𝑥 + 49 − 169 = 0\)
\(⇒2𝑥^2 − 14𝑥 − 120 = 0\)
\(⇒𝑥^2 − 7𝑥 − 60 = 0\)
\(⇒(𝑥 − 12)(𝑥 + 5) = 0\)
\(⇒𝑥 = 12\)

Selanjutnya Pythagoras \(AOB\)

\(𝐴𝑂^2 + 𝐵𝑂^2 = 𝐴𝐵^2\)
\(144 + 144 = 𝐴𝐵^2 = 288\)

Jadi luas persegi adalah \(𝐴𝐵^2 = 288\) satuan luas.

\(f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝0\)
\(⇒4(1) − 90 + 4(2) − 90 + 4(3) − 90 + ⋯ + 4(𝑛) − 90 = 0\)
\(⇒4(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛) − 90𝑛 = 0\)
\(⇒4(\frac{𝑛(𝑛 + 1)}{2}) = 90𝑛\)
\(⇒2(𝑛 + 1) = 90\)
\(⇒𝑛 + 1 = 45\)
\(⇒𝑛 = 44\)

\(k\) merupakan akar dari \(𝑥^2 + 2𝑥 − 21 = 0\) maka berlaku \(𝑘^2 + 2𝑘 − 21 = 0\)
selanjutnya

\((𝑘 − 3)(𝑘 + 3)(𝑘 − 1)(𝑘 + 5) = (𝑘 − 3)(𝑘 + 5)(𝑘 − 1)(𝑘 + 3)\)
\(= (𝑘^2 + 2𝑘 − 15)(𝑘^2 + 2𝑘 − 3)\)
\(= (21 − 15)(21 − 3) = 6(18) = 108\)

\(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) memiliki paritas yang sama yaitu keduanya ganjil atau keduanya genap, maka kemungkinan pasangan \((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((2023, 1), (289, 7)\), dan \((119,17)\).

Kemungkinan 1
\(𝑎 + 𝑏 = 2023\)
\(𝑎 − 𝑏 = 1\)
_______________+
\(2𝑎 = 2024 ⇒ 𝑎 = 1012\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 1\) , maka nilai \(𝑏 = 1011\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011)\)

Kemungkinan 2
\(𝑎 + 𝑏 = 289\)
\(𝑎 − 𝑏 =7\)
_______________+
\(2𝑎 = 296 ⇒ 𝑎 = 148\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 7\) , maka nilai \(𝑏 = 141\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((148,141)\)

Kemungkinan 3
\(𝑎 + 𝑏 = 119\)
\(𝑎 − 𝑏 = 17\)
_______________+
\(2𝑎 = 136 ⇒ 𝑎 = 68\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 17\) , maka nilai \(𝑏 = 51\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((68,51)\)
𝐽𝑎𝑑𝑖 semua pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011), (148,141)\),dan \((68,51)\)

\(2^3 ⋅ 3^5 ⋅ 5^7 ⋅ 7^9 = 2^2 ⋅ 3^4 ⋅ 5^6 ⋅ 7^8 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = (2^2)^1 ⋅ (3^2)^2 ⋅ (5^2)^3 ⋅ (7^2)^4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7\)
Jadi banyaknya pembagi yang memenuhi adalah \((1 + 1)(2 + 1)(3 + 1)(4 + 1) = 2(3)(4)(5) =120\) bilangan

\((𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑦^2)(𝑥 + 𝑦) = 3(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^3 + 𝑎𝑥^2𝑦 + 𝑏𝑥𝑦^2 + 𝑏𝑦^3 = 3(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒16 + (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑥𝑦 = 3(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒16 + 3𝑥𝑦 = 3(𝑥 + 𝑦) … (1)\)
Selanjutnya
\((𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑦^3)(𝑥 + 𝑦) = 16(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^4 + 𝑎𝑥^3𝑦 + 𝑏𝑥𝑦^3 + 𝑏𝑦^4 = 16(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒42 + (𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑦^2)𝑥𝑦 = 16(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒42 + 7𝑥𝑦 = 16(𝑥 + 𝑦) … (2)\)
Eliminasi \(7\) kali persamaan \((1)\) dan \(3\) kali persamaan \((2)\), diperoleh
\(𝑥 + 𝑦 = −14\) dan \(𝑥𝑦 = −38\)
Selanjutnya
\((𝑎𝑥^4 + 𝑏𝑦^4)(𝑥 + 𝑦) = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑎𝑥^4𝑦 + 𝑏𝑥𝑦^4 + 𝑏𝑦^5 = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑦^5 + (𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑦^3)𝑥𝑦 = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑦^5 + 16𝑥𝑦 = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑦^5 = 42(−14) − 16(−38) = 20\)

• \(𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 𝑒 = 1\), banyak cara ada \(1\) cara
• Terdapat \(4\) angka \(1\) dan bilangan lainnya adalah \(\{2, 3, 4, 5, 6\}\), banyak permutasinya \(\frac{5!}{4!×5} =25\) cara
• Terdapat \(3\) angka \(1\) dan bilangan \(2\) angka lainnya adalah \((2,2), (2,3), (2,4), (2,5)\), dan \((3,3)\). Banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!.2!}× 2 +\frac{5!}{3!}× 3 = 10 × 2 + 20 × 3 = 80\) cara.
• Terdapat \(2\) angka \(1\) dan \(3\) bilangan lainnya adalah \((2, 2, 2)\), banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!.2!}=10\) cara
• Teradapat \(1\) angka \(1\) (tidak memenuhi)

Jadi banyaknya barisan pasangan bilangan bulat positif \((𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒)\) yang memenuhi sebanyak \(1+25+80+10=116\) cara

Bentuk umum
\(𝑛 ⋅ (𝑛 + 1)^2 = 𝑛 ⋅ (𝑛^2 + 2𝑛 + 1) = 𝑛^3 + 2𝑛^2 + 𝑛\)
diperoleh
\(1 ⋅ 2^2 + 2 ⋅ 3^2 + 3 ⋅ 4^2 + ⋯ + 19 ⋅ 20^2\)
\(= 1^3 + 2. 1^2 + 1 + 2^3 + 2. 2^2 + 2 + 3^3 + 2. 3^2 + 3 + ⋯ + 19^3 + 2. 19^2 + 19\)
\(= 1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 19^3 + 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ⋯ + 19^2 ) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 19)\)
\(=\left(\frac{(1+19)(19)}{2}\right)^2+2\left(\frac{19(19+1)(2(19)+1)}{6}\right)+\left(\frac{(1+19)(19)}{2}\right)\)\(=\left(\frac{(20)(19)}{2}\right)^2+2\left(\frac{19(20)(39)}{6}\right)+\left(\frac{(20)(19)}{2}\right)\)
\(=(190)^2+4940+190\)
\(=41.230\)

Cara lain:
Bentuk umum lainnya adalah
\((𝑛 − 1)𝑛^2 = 𝑛^3 − 𝑛^2\)
Diperoleh
\(1 ⋅ 2^2 + 2 ⋅ 3^2 + 3 ⋅ 4^2 + ⋯ + 19 ⋅ 20^2\)
\(= 2^3 − 2^2 + 3^3 − 3^2 + 4^3 − 4^2 + ⋯ + 20^3 − 20^2\)
\(= (1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 20^3) − (1^2 + 2^2 + 3^2 + ⋯ + 20^2)\)
Tambahan \(1^3\) dan \(1^2\) tidak mengubah hasil karena selisihnya \(0\)
\(=\left(\frac{(1+20)(20)}{2}\right)^2-\left(\frac{20(20+1)(2(20)+1)}{6}\right)\)
\(=210^2-2870\)
\(=41.230\)

\(𝐾𝑃𝐾(8,12,16)𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(48𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(6𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(−𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(−𝑛 ≡ −3\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(𝑛 ≡ 3\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)

Jadi bilangan terkecil adalah \(48(3) + 3 = 147\)

Kecepatan berjalan : \(𝑣_1 = 4\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Kecepatan berlari : \(𝑣_2 = 6\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Waktu berjalan : \(𝑡_1\)
Waktu berlari : \(𝑡_2 = 𝑡_1 − 3\frac{3}{4}\) menit = \((𝑡_1 −\frac{1}{16})\) 𝑗𝑎𝑚
Samakan jarak tempuh dengan cara berjalan dan berlari

\(𝑆_1 = 𝑆_2\)
\(𝑣_1 × 𝑡_1 = 𝑣_2 × 𝑡_2\)
\(4𝑡_1 = 6 (𝑡_1 −\frac{1}{16})\)
\(4𝑡_1 = 6𝑡_1 −\frac{3}{8}\)
\(2𝑡_1 =\frac{3}{8}\)
\(⇒ 𝑡_1 =\frac{3}{16}\)

Jadi jarak rumah ke sekolah adalah \(𝑣_1 × 𝑡_1 = 4 ×\frac{3}{16}=\frac{3}{4}\) km

Untuk penyebut gunakan rumus \(\sqrt{(𝑎 + 𝑏) + 2\sqrt{𝑎𝑏}} = \sqrt{𝑎} + \sqrt{𝑏}\)

\(\frac{\sqrt{45} + \sqrt{18}}{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}=\frac{3\sqrt 5 + 3\sqrt 2}{\sqrt{(5 + 2) + 2\sqrt{5.2}}}=\frac{3(\sqrt 5 + \sqrt 2)}{(\sqrt 5 + \sqrt 2)}= 3\)

Jumlahkan kedua persamaan

\(\frac{5}{𝑥 − 2}+\frac{2}{𝑦 − 3}+\frac{4}{𝑥 − 2}−\frac{2}{𝑦 − 3}= 8 + 10\)
\(\frac{9}{𝑥 − 2}= 18 ⇒ 𝑥 − 2 =\frac{1}{2}⇒ 𝑥 =\frac{5}{2}\)
Subtitusi \(𝑥 − 2 =\frac{1}{2}\) ke persamaan (1)
\(\frac{5}{𝑥 − 2}+\frac{2}{𝑦 − 3}= 8\)
\(10 +\frac{2}{𝑦 − 3}= 8\)
\(\frac{2}{𝑦 − 3}= −2\)
\(𝑦 − 3 = −1\)
\(𝑦 = 2\)
Jadi nilai dari \(𝑥𝑦 =\frac{5}{2}(2) = 5\)

Banyak cara menempatkan surat adalah 4! = 24 cara

• Hanya satu yang sesuai.
  misalkan dari 4 surat A, B, C, D yang sesuai hanya A
  \(\begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  A&B&C&D\\
  \hline
  A&C&D&B\\
  \hline
  A&D&B&C\\
  \hline
  \end{array}\)
  Ada 2 cara, karena yang bersesuain bisa di A, B, C atau D, maka banyak cara ada 8 cara

• Ada dua surat yang bersesuaian
  misalkan A dan B yang bersesuian
  \(\begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  A& B& C& D\\
  \hline
  A& B& D& C\\
  \hline
  \end{array}\)
  Ada 1 cara, kemungkinan lain selain AB yaitu, AC, AD, BC, BD, CD , maka banyak cara ada 6 cara
• Ada 3 surat yang bersesuain
  Apabila 3 surat bersesuaian maka sama saja dengan 4 bersesuaian ada 1 cara

Jadi banyak cara berbeda seoarang pembantu yang ceroboh memasukan empat buah surat ke dalam Amplop, dimana tidak ada alamat surat di amplop yang sesuai dengan isi suratnya adalah 24 − (8 + 6 + 1) = 9 𝑐𝑎𝑟𝑎

Misalkan \(∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥\) dan \(∠𝐶𝐵𝐷 = 𝑦\),
karena \(AD = AB\) maka \(∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥°\)
Karena \(∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐵 = 30°\) maka \(∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐶 − 30° = 𝑥 + 𝑦 − 30°\)
Dengan menggunakan jumlah sudut segitiga

\(∠𝐴𝐶𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐵 = 180°\)
\(𝑥 + 𝑦 − 30 + 𝑥 + 𝑦 + 180° − 2𝑥 = 180°\)
\(2𝑦 = 30°\)
\(𝑦 = 15°\)
Jadi besar \(∠𝐷𝐵𝐶 = 15°\)

karena \(𝑥: 𝑦 = 9: 5\) maka bisa dimisalkan \(𝑥 = 9𝑛\) dan \(𝑦 = 5𝑛\)

\(\frac{3𝑥 − 4𝑦}{7𝑥 + 5𝑦}=\frac{3(9𝑛) − 4(5𝑛)}{7(9𝑛) + 5(5𝑛)}=\frac{27𝑛 − 20𝑛}{63𝑛 + 25𝑛}=\frac{7𝑛}{88𝑛}=\frac{7}{88}\)

\(𝑏^2 + 𝑐^2 = 𝑎^2 … (1)\)
\(⇒𝑎 + 𝑐 = 50 ⇒ 𝑎 = 50 − 𝑐 …(2)\)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
\(𝑏^2 + 𝑐^2 = (50 − 𝑐)^2\)
\(⇒(20)^2 + 𝑐^2 = 2500 − 100𝑐 + 𝑐^2\)
\(⇒400 = 2500 − 100𝑐\)
\(⇒4 = 25 − 𝑐\)
\(⇒𝑐 = 21\)
Subtitusi nilai \(c\) ke persamaan (2), diperoleh
\(𝑎 = 50 − 𝑐 = 50 − 21 = 29\)
Jadi nilai \(𝑎 − 𝑐 = 29 − 21 = 8\)

\(𝑥 −\frac{1}{𝑥}= 5\)
\((𝑥 −\frac{1}{𝑥})^2= 5^2\)
\(𝑥^2 − 𝑥(\frac{1}{𝑥})2 +\frac{1}{𝑥^2} = 25\)
\(𝑥^2 − 2 + \frac{1}{𝑥^2} = 25\)
\(𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2} = 27\)

Misalkan banyak perempuan dan laki-laki adalah \(P\) dan \(L\), karena hanya 12 orang mendapatkan nilai \(A\) maka didapatkan persamaan

\(40\%𝑃 + 50\%𝐿 = 12\)
\(0,4𝑃 + 0,5𝐿 = 12\)
\(4𝑃 + 5𝐿 = 120 … (1)\)

Diketahui perbandingan \(𝑃 ∶ 𝐿 = 5: 4\), bisa dimisalkan \(𝐿 = 4𝑛\) dan \(𝑃 = 5𝑛\), subtitusi kepersamaan (1) diperoleh

\(4𝑃 + 5𝐿 = 120\)
\(4(5𝑛) + 5(4𝑛) = 120\)
\(20𝑛 + 20𝑛 = 120\)
\(40𝑛 = 120\)
\(𝑛 = 3\)

Jadi jumlah murid di kelas tersebut adalah \(𝑃 + 𝐿 = 5𝑛 + 4𝑛 = 9𝑛 = 9(3) = 27\)

• Bilangan 1 digit : {5} ada 1
• Bilangan 2 digit : {14, 19, 23, 28, …., 91, 96} ada 18
• Bilangan 3 digit
  100-199 bilangan yang memenuhi {104, 109, 113, 118, … ,190, 195} ada 20
  200-299 bilangan yang memenuhi {203, 208, 212, 217, …,294, 299} ada 20
  300-399 bilangan yang memenuhi {302, 307, 311, 316,…,393, 398} ada 20
  400-500 bilangan yang memenuhi {401, 406, …, 492, 497, 500} ada 21

Jadi banyak bilangan yang memenuhi adalah 1 + 18 + 20 + 20 + 20 + 21 = 100 bilangan

Perhatikan untuk \(n\) nya genap

\(S_n=-\frac{n}{2}\)

dan untuk \(n\) nya ganjil

\(S_n=S_{n-1}+n\)

\(𝑆_{25} + 𝑆_{26} + 𝑆_{27}\)
\( = 𝑆_{24} + 25 + 𝑆_{26} + 𝑆_{26} + 27\)
\( = −12 + 25 − 13 − 13 + 27 = 52 − 38 = 14\)

\(2021 × 20222022 × 202320232023 − 2023 × 20212021 × 202220222022\)
\(= 2021 × (20220000 + 2022) × (202300000000 + 20230000 + 2023) − 2023 ×(20210000 + 2021) × (202200000000 + 20220000 + 2022)\)
\(= 2021 × 2022(10000 + 1) × 2023(100000000 + 10000 + 1) − 2023 × 2021(10000 + 1) ×2022(100000000 + 10000 + 1)\)
\(= 2021 × 2022 × 10001 × 2023 × 100010001 − 2023 × 2021 × 10001 × 2022 × 100010001\)
\(= 0\)

Kemungkinan salah satu susunan adalah \(GGGAA\).
Banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!2!}=\frac{5.4.3!}{3!.2!}=\frac{20}{2}=10\).
Banyaknya susunan jika dua pelemparan pertama muncul gambar \(GGGAA, GGAGA,GGAG\) ada \(3\) cara.
Jadi peluang dua pelemparan pertama muncul gambar adalah \(\frac{3}{10}\)

\(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2\sqrt{𝑎𝑏} = (\sqrt {𝑎} + \sqrt{𝑏})^2\)
\(𝑥^2 ∘ 9𝑥 = (\sqrt{𝑥^2} + \sqrt{9𝑥})^2= (𝑥 + 3\sqrt {𝑥})^2= 121\)
Karena \(x\) positif maka berlaku
\(𝑥 + 3\sqrt {𝑥} = 11\)
\((\sqrt {𝑥} +\frac{3}{2})^2−\frac{9}{4}=11\)
\((\sqrt {𝑥} + \frac{3}{2})^2= 11 +\frac{9}{4}=\frac{53}{4}\)
\(\sqrt {𝑥} +\frac{3}{2}= ±\frac{\sqrt{53}}{2}\)
\(\sqrt {𝑥} = ±\frac{\sqrt{53}}{2}−\frac{3}{2}\)
Nilai \(x\) yang memenuhi adalah
\(\sqrt {𝑥} =\frac{\sqrt{53}}{2}−\frac{3}{2}\)
\(𝑥 = (\frac{\sqrt{53}}{2}−\frac{3}{2})^2\)
\(=\frac{53}{4}+\frac{9}{4}− 2(\frac{\sqrt{53}}{2})(\frac{3}{2})\)
\(=\frac{62}{4}−\frac{3\sqrt{53}}{2}\)
\(=\frac{31}{2}−\frac{3\sqrt{53}}{2}\)
\(=\frac{31 − 3\sqrt{53}}{2}\)

Misalkan luas daerah 3 bagian yang sama adalah \(a\)
Karena \([𝐴𝐵𝐷] = [𝐴𝐷𝐹𝐸] = [𝐸𝐶𝐹]=a\) maka
\(\frac{[𝐴𝐵𝐷]}{[𝐴𝐷𝐶]}=\frac{[ABD]}{[ADFE]+[ECF]}=\frac{a}{a+a}=\frac{1}{2}=\frac{𝐵𝐷}{𝐷𝐶}\)
Dengan menggunak sifat garis bagi \(AD\) pada sudut \(∠BAC\), diperoleh rumus
\(𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶. 𝐵𝐷\)
\(\frac{𝐵𝐷}{𝐶𝐷}=\frac{𝐴𝐵}{𝐴𝐶}=\frac{1}{2}\)
\(⇒ 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2(7) = 14\)
Misalkan panjang \(𝐵𝐶 = 𝑎\), dengan menggunakan pertidaksaamaan segitiga
\(𝑎 + 7 > 14 ⇒ 𝑎 > 7\)
\(𝑎 + 14 > 7 ⇒ 𝑎 > −7\)
\(14 + 7 > 𝑎 ⇒ 𝑎 < 21\)
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas adalah
\(7 < 𝑎 < 21\)
Nilai \(𝑎\) yang memenuhi adalah \(\{8, 9, 10, … , 20\}\) banyaknya ada \(13\) kemungkinan.

Misalkan banyak noktah pada masing-masing kartu adalah \((x,y)\)

• Noktah maksimal 1
  (1,0), (1,1) jumlahnya 1 + 2 = 3
• Noktah maksimal 2
  (2,0), (2,1), (2,2) jumlahnya 6 + 3 = 9
• Noktah maksimal 3
  (3,0), (3,1), (3,2), (3,3) jumlahnya 12 + 6 = 18
• Noktah maksimal 4
  (4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) jumlahnya 20 + 10 = 30
• …
• noktah maksimal 10
  (10,0), (10,1),…(10,10) jumlahnya 165

Dari hasil penjumlahan noktah di atas membentuk barisan bertingkat

\(3, 9, 18, 30, …\)

Karena maksimal noktah adalah 10 maka jumlah semua noktah adalah
\(3 + 9 + 18 + 30 + 45 + 63 + 84 + 108 + 135 + 165 = 660\)

Misalkan panjang \(𝐹𝑃 = 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑥\)
karena \(𝑃𝐴 = 𝑃𝐵\) maka dipastikan titik \(𝐹\) merupakan titik tengah garis \(𝐷𝐶\)
Karena \(PF ⊥ DC\), maka panjang \(𝑃𝐸 = 𝐹𝐸 − 𝐹𝑃 = 30 − 𝑥\)
Perhatikan segitiga siku-siku \(𝑃𝐸𝐵\), dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(𝑃𝐵^2 = 𝑃𝐸^2 + 𝐸𝐵^2\)
\(𝑥^2 = (30 − 𝑥)^2 + 15^2\)
\(𝑥^2 = 900 − 60𝑥 + 𝑥^2 + 225\)
\(60𝑥 = 1125\)
\(𝑥 =\frac{75}{4}\)

Jadi luas segitiga

\(𝑃𝐴𝐵 =\frac{1}{2}(𝑃𝐸)(𝐴𝐵) =\frac{1}{2}(30 −\frac{75}{4})(30) =\frac{1}{2}(\frac{45}{4})(30)=\frac{675}{4}\;𝑐𝑚^2\)

\(Δ(𝑎, 3,5) = 𝑎^2 + 3^2 + 5^2 = 𝑎^2 + 9 + 25 = 𝑎^2 + 34\)

Selanjutnya

\((Δ(𝑎, 3,5)) ∗= 1600\)
\(⇒(𝑎^2 + 34) ∗= 1600\)
\(⇒(𝑎^2 + 34)^2 = 40^2\)
\(⇒𝑎^2 + 34 = 40\)
\(⇒𝑎^2 = 40 − 34 = 6\)
\(⇒𝑎 = \sqrt{6}\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(𝑥\), diperoleh persamaan:

\(𝑥 = 6 +\frac{1}{𝑥}\)

Kalikan kedua ruas dengan \(𝑥\)

\(𝑥^2 = 6𝑥 + 1\)
\(⇒𝑥^2 − 6𝑥 = 1\)
\(⇒(𝑥 − 3)^2 − 9 = 1\)
\(⇒(𝑥 − 3)^2 = 10\)
\(⇒𝑥 − 3 = ±\sqrt{10}\)
\(⇒𝑥 = ±\sqrt{10} + 3\)

Karena \(x\) nya positif maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(3 + \sqrt{10}\)

Dengan menggunakan euler totient function

\(𝜑(50) = 50 (1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{5}) = 50 (\frac{1}{2})(\frac{4}{5}) = 20\)

Selanjutnya

\(6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 𝜑(50)} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 20} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^3\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 = 216\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 16\)

Langkah pertama kelompokkan menjadi 2 kelompok:
\(11 × 101 × 10001 = 11111111\)
\(111 × 1001 × 1000001 = 111111111111\)
Kalikan kedua hasil di atas diperoleh \(8\) digit terakhir adalah \(87654321\), selanjunya kalikan
dengan \(100001\)
\(87654321 × 100001 = 87654321 × (100000 + 1) = 8765432100000 + 87654321\)
Delapan bilangan terakhir dari hasil penjumlahan di atas adalah \(19754321\)

\(𝑥 − 𝑦^2 = 3\)
Kuadratkan kedua ruas, diperoleh
\(𝑥^2 + 𝑦^4 − 2𝑥𝑦^2 = 9\)
Subtitusi persamaan \(𝑥^2 + 𝑦^4 = 13\) ke persamaan di atas

\(13 − 2𝑥𝑦^2 = 9\)
\(⇒2𝑥𝑦^2 = 4\)
\(⇒𝑥𝑦^2 = 2\)
\(⇒𝑥(𝑥 − 3) = 2\)
\(⇒𝑥^2 − 3𝑥 − 2 = 0\)
\(⇒(𝑥 −\frac{3}{2})^2−\frac{9}{4}− 2 = 0\)
\(⇒(𝑥 −\frac{3}{2})^2=\frac{17}{4}\)
\(⇒(𝑥 −\frac{3}{2}) = ±\frac{\sqrt{17}}{2}\)
\(⇒𝑥 = ±\frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{3}{2}\)

Karena \(x\) positif maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)

Misalkan sudut pada ujung bintang adalah \(x\), Jumlah semua sudut pada ujung bintang adalah \(180° = 𝜋\).

\(7𝑥 = 𝜋 ⇒ 𝑥 =\frac{𝜋}{7}\)

Dari segitiga berwarna merah

\(3𝑥 + 2𝑦 = 𝜋\)
\(𝑎 + 2𝑦 = 𝜋\)

Dari kedua persamaan diperoleh

\(𝑎 = 3𝑥 = 3(\frac{𝜋}{7}) =\frac{3𝜋}{7}\)

\(𝑎 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑥 − 2}⇒ 𝑥 − 2 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}\)\(⇒𝑥 − 1=\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑎}\)\(⇒\frac{1}{𝑥 − 1}=\frac{𝑎}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)

dengan cara yang sama diperoleh

\(𝑏 =\frac{𝑐 + 𝑎}{𝑦 − 2}⇒\frac{1}{𝑦 − 1}=\frac{𝑏}{𝑐 + 𝑎 + 𝑏}\)
\(𝑐 =\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑧 − 2}⇒\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)
Jumlahkan ketiga persamaan, diperoleh

\(\frac{1}{𝑥 − 1}+\frac{1}{𝑦 − 1}+\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}= 1\)
\(⇒\frac{(𝑦 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)}{(𝑥 − 1)(𝑦 − 1)(𝑧 − 1)}= 1\)
\(⇒𝑦𝑧 − 𝑦 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑧 − 𝑥 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1\)
\(⇒(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) − 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 3 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 1\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 4\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(101) − 3(2023) + 4 = −5863\)

Misalkan banyak lembaran uang 2000-an, 5000-an dan 10.000-an adalah \(𝑥, 𝑦\) dan \(𝑧\)

\(2000𝑥 + 5000𝑦 + 10000𝑧 = 2.010.000\)
\(2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 2010\)

\(2x\) dan \(10z\) bilangan genap maka dipastikan \(5y\) juga merupakan bilangan genap, karena \(5y\) genap maka \(5y\) merupakan kelipatan \(10\). Karena \(5y\) dan \(10z\) kelipatan \(10\) maka dipastikan \(2x\) juga merupakan kelipatan \(10\). Selanjutnya dimisalkan

\(2𝑥 = 10𝑎, 5𝑦 = 10𝑏\)

Didapatkan persamaan

\(10𝑎 + 10𝑏 + 10𝑧 = 2010\)
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑧 = 201\)

Dengan mengunakan teorema star bars banyak pasangan bilangan bulat tak negative \((𝑎, 𝑏, 𝑧)\) adalah \({{201 + 3 − 1}\choose {3 − 1}}={203\choose 2} = 20503\) cara

\(𝑎_0 = 2\)
\(𝑎_1 =\frac{𝑎_0}{1+𝑎_0}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\)
\(𝑎_2 =\frac{𝑎_1}{1+𝑎_1}=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}\)

\(𝑎_3 =\frac{𝑎_2}{1+𝑎_2}=\frac{\frac{2}{5}}{1+\frac{2}{5}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{2}{7}\)

…

Penyebutnya membentuk pola bilangan ganjil, bentuk umum pola ke-n adalah

\(𝑎_𝑛 =\frac{2}{2𝑛+1}\)

Jadi \(𝑎_{2023} =\frac{2}{2(2023)+1}=\frac{2}{4047}\)

\(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}= 2023^{2023.2023^{2023}} = (2023^{2023})^{2023^{2023}}\)
Jadi nilai \(x\) nya adalah \(2023^{2023}\)

Jadi banyak cara adalah \(6 + 14 + 16 + 15 + 10 = 61\) cara

\([𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{2}(2)(2) = 2\)

Karena \([𝐴𝐸𝐵𝐷] = 2[𝐸𝐷𝐶]\) maka

\([𝐸𝐷𝐶] =\frac{1}{3}[𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{3}(2) =\frac{2}{3}\)

Tarik garis tinggi segitiga \(𝐸𝐷𝐶\) dari titik \(𝐸\)
berpotongan di \(𝐵𝐶\) di titik misalkan titik \(𝐹\)

\([𝐸𝐷𝐶] =\frac{1}{2}(𝐸𝐹)(𝐷𝐶)\)
\(\frac{2}{3}=\frac{1}{2}(𝐸𝐹)1 ⇒ 𝐸𝐹 =\frac{4}{3}\)

Karena \(Δ𝐸𝐹𝐶\) juga merupakan segitiga siku-siku sama kaki maka \(𝐸𝐹 = 𝐹𝐶\)

\(𝐹𝐷 = 𝐹𝐶 − 𝐷𝐶 =\frac{4}{3}− 1 =\frac{1}{3}\)

Selanjutnya dengan menggunakan rumus pythagoras

\(𝐸𝐷 = \sqrt{𝐹𝐸^2 + 𝐹𝐷^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{17}{9}}=\frac{\sqrt{17}}{3}\)

Misalkan Mula-mula banyaknya yang duduk adalah \(D\) dan yang berdiri adalah \(B\)

\(\frac{\text{𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑆𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔}}{\text{𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔}}=\frac{58}{42}\)

\(\frac{100\%𝐷 − 30\%𝐷 + 30\%𝐵}{100\%𝐵 − 30\%𝐵 + 30%𝐷}=\frac{58}{42}\)

\(\frac{100\%𝐷 − 30\%𝐷 + 30\%𝐵}{100\%𝐵 − 30\%𝐵 + 30\%𝐷}=\frac{29}{21}\)

\(\frac{10𝐷 − 3𝐷 + 3𝐵}{10𝐵 − 3𝐵 + 3𝐷}=\frac{29}{21}\)

\(29(7𝐵 + 3𝐷) = 21(7𝐷 + 3𝐵)\)
\(3𝐷 = 7𝐵\)

Jadi perbandingan \(D : B = 140 : 60 = 7 : 3\)

\(𝑥 = \sqrt{19 − 8\sqrt{3}} = \sqrt{19 − 2\sqrt{16.3}} = \sqrt{16} − \sqrt{3} = 4 − \sqrt{3}\)
\(𝑥 − 4 = −\sqrt{3}\)

Kuadratkan kedua ruas, diperoleh

\(𝑥^2 − 8𝑥 + 16 = 3\)
\(𝑥^2 − 8𝑥 + 13 = 0\)
\(𝑥^2 − 8𝑥 + 15 = 2\)

selanjutnya

\(\begin{align}
𝑥^4 − 6𝑥^3 − 2𝑥^2 + 18𝑥 + 23 &= 𝑥^2(𝑥^2 − 8𝑥 + 13) + 2𝑥^3 − 15𝑥^2 + 18𝑥 + 23\\
&= 2𝑥^3 − 15𝑥^2 + 18𝑥 + 23\\
&= 2𝑥(𝑥^2 − 8𝑥 + 13) + 𝑥^2 − 8𝑥 + 13 + 10\\
&= 10\\
\end{align}\)

Jadi nilai dari
\(\frac{𝑥^4−6𝑥^3−2𝑥^2+18𝑥+23}{𝑥^2−8𝑥+15}=\frac{10}{2}=5\)

\(3𝑥 + 5𝑦 = 1008\)
\(3𝑥 = 1008 − 5𝑦\)
\(𝑥 =\frac{1008 − 5𝑦}{3}\)

Kemungkinan nilai \(𝑦\) yang memenuhi adalah \(\{3, 6, 9, …., 201\}\).
Banyaknya pasangan \((x,y)\) sma dengan banyaknya nilai \(y\) yang memenuhi yaitu
\(\frac{201−3}{3}+1=67\) pasangan.

\(\sqrt{𝑥} + \sqrt{𝑦} = \sqrt{2023}\)
\(\sqrt{𝑥} + \sqrt{𝑦} = 17\sqrt{7}\)

misalkan

\(\sqrt{x}=a\sqrt{7}\)
\(\sqrt{y}=b\sqrt{7}\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=17\sqrt{7}=a\sqrt{7}+b\sqrt{7}\)

Karena \(0 < 𝑥 < 𝑦\) , maka kemungkinan nilai \((a, b)\) adalah \(\{(1,16), (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10), (8,9)\}\),
Jadi banyak kemungkinan pasangan \((x,y)\) adalah 8 pasangan.

\(26 = 𝑛𝑎 + 2\)
\(𝑛𝑎 = 24, 𝑛 > 2\) karena bersisa \(2\)
Nilai \(n\) yang memenuhi \(𝑛 = {3, 4, 6, 8, 12, 24}\)
Jumlah nilai \(𝑛 = 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 57\)

\(𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 12\)
\(𝑎, 𝑏\) dan \(𝑐\) bilangan satu digit karena harus memenuhi bilangan tiga digit \(\overline{abc}\).

• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,2,6)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,3,4)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (2,2,3)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk \(=\frac{3!}{2!}= 3\)

Jadi banyak bilangan yang terbentuk ada \(6 + 6 + 3 = 15\)

Misal \(𝑎 = 33𝑥\) dan \(𝑏 = 33𝑦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli
saling prima.
\(𝑎 + 𝑏 = 33𝑥 + 33𝑦 = 528\)
\(= 𝑥 + 𝑦 = 16\)
Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\)
Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\)
dan \((7,9)\). Jadi banyaknya pasangan \((𝑎, 𝑏)\) ada \(4\)

\(\frac{𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+⋯+𝑥_8}{8}= 99 ⟹ 𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_8 = 792 … (1)\)
Misalkan bilangan terbesarnya adalah \(𝑥_8\) dan \(𝑥_7\), maka \(𝑥_8 − 𝑥_7 = 18\)
Rata-rata bilangan sisanya:
\(\frac{𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+⋯+𝑥_6}{6}= 87\) ⟹ \(𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_6 = 522 … (2)\)
Subtitusi persamaan \((2)\) ke pers \((1)\) diperoleh
\(522 + 𝑥_7 + 𝑥_8 = 792\)
\(𝑥_7 + 𝑥_8 = 270\)
Eliminasi \(𝑥_8 − 𝑥_7 = 18\) dan \(𝑥_7 + 𝑥_8 = 270\), diperoleh \(𝑥_8 = 144\)

Gunakan sifat sudut bersebrangan dalam maka diperoleh
\((90 − 2𝑥)° + (180 − (3𝑥 + 10))° = (50 + 𝑥)°\)
\(⇒90 − 2𝑥 + 170 − 3𝑥 = 50 + 𝑥\)
\(⇒260 − 5𝑥 = 50 + 𝑥\)
\(⇒310 = 6𝑥\)
\(⇒𝑥 = 350\)

\(\overline{xy}= 10𝑥 + 𝑦\)
\(\overline{xy}= 7(𝑥+y) + 3\)
\(10𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 7𝑦 + 3\)
\(3𝑥 = 6𝑦 + 3\)
\(𝑥 = 2𝑦 + 1\)
Karena \(𝑥 = 𝑦 + 3\), maka \(𝑦 + 3 = 2𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2\) dan \(𝑥 = 5\), jadi \(𝑥 + 𝑦 = 7\).

Tinggi \(A\) mula-mula \(= A\)
Tinggi \(B\) mula-mula \(= B\)
Setelah 3 jam kedua lilin memiliki tinggi yang sama
\((𝐴 −\frac{3}{11}𝐴) = (𝐵 −\frac{3}{7}B)\)
\(\frac{8}{11}𝐴 =\frac{4}{7}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{44}{56}=\frac{11}{14}\)
Jadi rasio tinggi mula-mula adalah \(11 : 14\)

Pohon pertama tumbuh 3 cm setiap 2 bulan artinya dalam 6 bulan tumbuh 9 cm. pohon kedua 5 cm setiap 6 bulan. Dengan menggunakan tabel

Jadi kedua pohon memiliki tinggi yang sama pada bulan ke 54

\(𝐴 = 𝐾𝑃𝐾(5,6,8,9,12)𝑛 + 1 = 13𝑚\)
\(⇒𝐴 = 360𝑛 + 1 = 13𝑚\)
\(⇒360𝑛 + 1 = 0 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒360𝑛 = −1 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒9𝑛 = 12\; 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒27𝑛 = 36\; 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒𝑛 = 10\)
\(⇒𝐴 = 3601\)

\(𝐵 = 𝐾𝑃𝐾(12,18,21,28)𝑚 + 3 = 252𝑚 + 3\)
Karena \(B\) bilangan \(4\) digit terbesar maka nilai \(𝑚 = 39\)
Jadi \(B\) terbesar \(4\) digit adalah \(9828+3 = 9831\)

Jadi nilai \(B – A\) adalah \(9831 – 3601 = 6230\)

\(\frac{1}{15}=\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}\)
\(\frac{1}{15}=\frac{a+b}{𝑎b}\)
\(ab=15a+15b\)
\(ab-15a-15a=0\)
\((a-15)(b-15)-225=0\)
\((a-15)(b-15)=225=1×225=3×75=5×45=9×25\)

dari persamaan di atas diperole 4 kemungkinan nilai \((a,b)\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(3𝑛\) dan \(7𝑛\), Jika \(21\) ditambahkan ke masing-masing bilangan maka

\(\frac{3𝑛 + 21}{7𝑛 + 21}=\frac{1}{3}\)
\(⇒ 3(3𝑛 + 21) = 7𝑛 + 21\)
\( ⇒ 9𝑛 + 63 = 7𝑛 + 21\)
\(⇒ 2𝑛 = −42 \)
\(⇒ 𝑛 = −21\)

jadi selisih kedua bilangan adalah \(3𝑛 − 7𝑛 = −4𝑛 = −4(−21) = 84\).

Karena saling mengunjungi maka banyak kunjungan maksimum adalah

\(2{10\choose 2}=2\left(\frac{10!}{8! 2!}\right) = 2(45) = 90\)

Jadi banyak junjungan maksimum ada 90 kunjungan.

\(\frac{3^2 + 1}{3^2 − 1}+\frac{5^2 + 1}{5^2 − 1}+\frac{7^2 + 1}{7^2 − 1}+ ⋯ +\frac{99^2 + 1}{99^2 − 1}\)
\(=\frac{3^2 − 1 + 2}{3^2 − 1}+\frac{5^2 − 1 + 2}{5^2 − 1}+\frac{7^2 − 1 + 2}{7^2 − 1}+ ⋯ +\frac{99^2 − 1 + 2}{99^2 − 1}\)
\(=\frac{3^2 − 1}{3^2 − 1}+\frac{2}{3^2 − 1}+\frac{5^2 − 1}{5^2 − 1} + \frac{2}{5^2 − 1}+\frac{7^2 − 1}{7^2 − 1}+\frac{2}{7^2 − 1}+ ⋯ +1+\frac{2}{99^2 − 1}\)
\(=1+\frac{2}{3^2 − 1}+ 1 + \frac{2}{5^2 − 1}+ 1 +\frac{2}{7^2 − 1}+ ⋯ + 1 +\frac{2}{99^2 − 1}\)
\(= 49 + \left(\frac{2}{2 × 4}+\frac{2}{4 × 6}+\frac{2}{6 × 8}+ ⋯ +\frac{2}{98 × 100}\right)\)
\(= 49 + \left(\frac{1}{2}−\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}−\frac{1}{8}+ ⋯ +\frac{1}{98}−\frac{1}{100}\right)\)
\(= 49 +\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{100}\right) = 49 +\frac{49}{100}\)
\(= 49 + 0,49 = 49,49\)

\(𝑛 = 2𝑎 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 2𝑎 − 2 = 2(𝑎 − 1)\)
\(𝑛 + 1 = 3𝑏 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 3𝑏 − 3 = 3(𝑏 − 1)\)
\(𝑛 + 2 = 4𝑐 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 4𝑐 − 4 = 4(𝑐 − 1)\)
\(𝑛 + 3 = 5𝑑 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 5𝑑 − 5 = 5(𝑑 − 1)\)
\(𝑛 + 4 = 6𝑒 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 6𝑒 − 6 = 6(𝑒 − 1)\)
\(𝑛 + 6 = 8𝑓 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 8𝑓 − 8 = 8(𝑓 − 1)\)
\(𝑛 − 2 = 𝐾𝑃𝐾(2, 3, 4, 5, 6, 8). 𝑘, 𝑘\) bilangan cacah.
bilangan keempat diperoleh ketika nilai \(𝑘=3\) 

\(𝑛 − 2 = 𝐾𝑃𝐾(2,3,4,5,6,8). 3 ⇒ 𝑛 = 120(3) + 2 = 360 + 2 = 362\)

\(\frac{5}{𝑎}= 𝑏 + 𝑐 ⇒ 5 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐\)
\(\frac{10}{𝑏}= 𝑐 + 𝑎 ⇒ 10 = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏\)
\(\frac{13}{𝑐}= 𝑎 + 𝑏 ⇒ 13 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐\)
jumlahakan ketiga persamaan, diperoleh
\(2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) = 28\)
\(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 14\)
Nilai \(𝑎𝑏 = 14 − 13 = 1, 𝑏𝑐 = 14 − 5 = 9\), dan \(𝑎𝑐 = 14 − 10 = 4\)
Kalikan nilai \(𝑎𝑏, 𝑏𝑐\) dan \(𝑎𝑐\)

\(𝑎𝑏. 𝑎𝑐. 𝑏𝑐 = 1.9.4\)
\(⇒𝑎^2𝑏^2𝑐^2 = 36\)
\(⇒𝑎𝑏𝑐 = \sqrt{36} = 6\)

Jadi nilai dari \(𝑎𝑏𝑐 = 6\)

Luas daerah berwarna putih sama dengan 2 kali luas persegi dikurang luas berwarna kuning yaitu \(2(16) − 27 = 32 − 27 = 5\) 𝑐𝑚².
Jadi luas daearah berwarna orange sama dengan luas persegi kurangi luas daerah berwarna putih yaitu \(16 – 5 = 11\) 𝑐𝑚²

\((2^3)^4 = (2^6)^2 = (64)^2\)
\((3^2)^4 = (3^4)^2 = (81)^2\)
\((4^2)^3 = (4^3)^2 = (64)^2\)
Yang terbesar adalah \((81)^2\), jadi nilai maksimum \(n\) adalah \(6561\)

Bilangan dua digit : \(\{10, 11, 12, …, 99\}\), banyaknya ada \(90\) bilangan.
Bilangan dua digit yang jumlah digitnya \(5\) yaitu \(50, 23, 32, 14, 41\) ada \(5\) bilangan.
Jadi peluangnya adalah \(\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\)

\(\overline{ab} −\overline{cn}+\overline{cn} −\overline{db} = 40+50\)
\(\overline{ab} +\overline{db}=90\)
selanjutnya
\(\overline{abdb} +\overline{dbab}\)
\(= 100\overline{ab} + \overline{db} +100\overline{db} + \overline{ab}\)
\(= 101\overline{ab}+ 101\overline{db}\)
\(= 101(\overline{ab}+\overline{db})\)
\(= 101(90) = 9090\)
Jadi jumlah digitnya adalah \(9 + 0 + 9 + 0 =18\)

Syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digitnya kelipatan 9.
Bilangan terkecil 7 digit adalah 1234567 jumlah digitnya 28, bilangan terbesar 7 digit adalah
9876543 jumlah digitnya adalah 42, artinya bilangan 7 digit yang habis dibagi 9 jumlah digitnya
adalah 36.
Kombinasi bilangan 7 digit yang mungkin adalah 1236789, 1245789, 1345689, 2345679.
Selanjutnya kita cek banyak susunan bilangan 7 digit tersebut dengan syarat angka genap
tidak boleh ditempatkan di satuan, artinya terdapat 4 angka ganjil yang dapat ditempatkan
pada posisi satuan, banyak cara adalah 6.5.4.3.2.1.4 = 6!.4 cara.
Karena ada 4 kombinasi bilangan yang dapat dibagi 9, maka banyak cara menyusun bilangan 7 angka tersebut adalah 4. 6!. 4 = 11520

\((2𝑛 + 1) + (2𝑛 + 3) + (2𝑛 + 5) + … + (2𝑛 + 47) = 5280\)
\(⟹ 2𝑛(24) + (1 + 3 + 5 + ⋯ + 47) = 5280\)
Jumlah \(𝑛\) bilangan ganjil adalah \(𝑛^2\)
\(⟹ 2𝑛(24) + 24^2 = 5280\)
\(⟹ 48𝑛 + 576 = 5280\)
\(⟹ 48𝑛 = 5280 − 576\)
\(⟹ 48𝑛 = 4704\)
\(⇒ 𝑛 = 98\)
Jadi nilai dari
\(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 =\frac{98(1 + 98)}{2}= 4851\)

\(𝑥𝑦 + 8𝑥 + 𝑦 = 83\)
\((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) − 8 = 83\)
\((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) = 91\)
Pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yang memenuhi adalah \((−91, −1), (−1, −91), (−13, −7), (−7, −13), (91,1), (1,91), (13,7), (7,13)\)
Banyak pasangan \((𝑥, 𝑦)\) sama dengan banyaknya pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yaitu ada \(8\) pasangan.

Atau banyaknya pasangan bilangan bulat \((x,y)\) dapat diperoleh dari banyaknya factor positif dari \(91\)
kemudian dikalikan dua. Banyak factor positif dari \(91\) ada \(4\), Jadi banyaknya pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \(4 × 2 = 8\) pasangan

Menggunakan sifat segiempat tali busur.
Dari perpotongan diagonal persegi kita dapatkan \(∠𝐴𝑂𝐵 = 90°\). Akibatnya segiempat \(𝐴𝐵𝐸𝑂\) adalah segiempat tali busur.
Dari sifat segiempat tali busur, karena \(∠𝐴𝐵O\) dan \(∠𝐴𝐸𝑂\) menghadap busur yang sama maka
\(∠𝐴𝐵O=∠𝐴𝐸𝑂=45°\)

Misalkan
\(𝑎 = 0,044 ⇒ 10𝑎 = 0,44\)
\(𝑏 = 0,006 ⇒ 10𝑏 = 0,06\)
\(𝑐 = 0,0024 ⇒ 10𝑐 = 0,024\)
Diperoleh
\(\frac{(0,44)^2 + (0,06)^2 + (0,024)^2}{(0,044)^2 + (0,006)^2 + (0,0024)^2}\)
\(=\frac{(10𝑎)^2 + (10𝑏)^2 + (10𝑐)^2}{(𝑎)^2 + (𝑏)^2 + (𝑐)^2}\)
\(=\frac{100𝑎^2 + 100𝑏^2 + 100𝑐^2}{𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2}\)
\(=\frac{100(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2)}{𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2}\)
\(= 100\)

• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 0, pukul 00.00 ada 1
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 1, angka pada jam yaitu (01, 10) dan
  angka pada menit yaitu (01, 10), banyak kemungkinan ada 4
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 2, angka pada jam yaitu (02, 11, 20) dan angka pada menit yaitu (02, 11, 20), banyak kemungkinan ada 9
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 3, angka pada jam yaitu (03, 12, 21) dan angka pada menit yaitu (03, 12, 21, 30), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 4, angka pada jam yaitu (04, 13, 22) dan angka pada menit yaitu (04, 13, 22, 31, 40), banyak kemungkinan ada 15
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 5, angka pada jam yaitu (05, 14, 23) dan angka pada menit yaitu (05, 14, 23, 32, 41, 50), banyak kemungkinan ada 18
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 6, angka pada jam yaitu (06, 15) dan angka pada menit yaitu (06, 15, 24, 33, 42, 51), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 7, angka pada jam yaitu (07, 16) dan angka pada menit yaitu (07, 16, 25, 34, 43, 52), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 8, angka pada jam yaitu (08, 17) dan angka pada menit yaitu (08, 17, 26, 35, 44, 53), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 9, angka pada jam yaitu (09, 18) dan angka pada menit yaitu (09, 18, 27, 36, 45, 54), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 10, angka pada jam yaitu (19) dan angka pada menit yaitu (19, 28, 37, 46, 55), banyak kemungkinan ada 5

Jadi banyaknya semua kemungkinan adalah
1 + 4 + 9 + 12 + 15 + 18 + 12 + 12 + 12 + 12 + 5 = 112

Karena nilai \(a\) adalah akar dari \(f(x)\) maka \(𝑓(𝑎) = 0 ⇒ 𝑎^2 + 4𝑎 + 21 = 0\)
Selanjutnya
\(𝑎^4 − 𝑎^3 + 𝑎^2 = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎2(𝑎2 − 𝑎 + 1) = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎^2(−4𝑎 − 21 − 𝑎 + 1) = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎(−5𝑎 − 20) = 𝑛\)
\(⇒ −5𝑎(𝑎 + 4) = 𝑛\)
\(⇒ −5(𝑎^2 + 4𝑎) = 𝑛\)
\(⇒ −5(−21) = 𝑛\)
\(⇒ 𝑛 = 105\)

\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1870 … (1)\)
\(𝑏 + 50\%𝑐 = 𝑐 + 80\%𝑏 …(2)\)
\(𝑎 = 30\%𝑏 …(3)\)
Dari persamaan \((2)\)
\(𝑏 − 0,8𝑏 = 𝑐 − 0,5𝑐\)
\(0,2𝑏 = 0,5𝑐\)
\(2𝑏 = 5𝑐\)
Diperoleh perbandingan \(𝑏: 𝑐 = 5 ∶ 2\).
Dari persamaan \((3)\)
\(𝑎 = 30\%𝑏 ⇒ 10𝑎 = 3𝑏 ⇒ 𝑎: 𝑏 = 3 ∶ 10\)
Karena \(𝑏: 𝑐 = 5: 2\) dan \(𝑎: 𝑏 = 3 ∶ 10\) maka perbandingan \(𝑎: 𝑏: 𝑐 = 3 ∶ 10 ∶ 4\)
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑐 =\frac{3+4}{3+10+4}(1870) =\frac{7}{17}(1870) = 770\)

9 ada 1
91, 19 ada 2
911, 191, 119 ada 3
9111, 1911, 1191, 119 ada 4
Berdasarkan pola di atas, terlihat bahwa bilangan 1 digit ada 1, 2 digit ada 2, 3 digit ada 3 dan seterusnya.

Karena 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45, maka suku ke-45 berada pada barisan akhir yang banyak angkanya ada 9 yaitu 111111119

Kalikan pembilanganya dengan \(10^{2023}\), nilainya tidak mengubah nilai ujung kanan tak nol dari
\(\frac{1}{2^{2023}}\) Hasilnya adalah

\(\frac{10^{2023}}{2^{2023}} = 5^{2023}\)

Karena \(5^{2023} mod\; 10 ≡ 5\), maka dapat disimpulkan bilangan ujung kanan pada decimal expantion
dari \(\frac{1}{2^{2023}}\) adalah \(5\).

---

30. Find the value of \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒\) given \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒\) are real numbers satisfying the following equations:

\(𝑎^2 = 2𝑒 + 23\)
\(𝑏^2 = 10𝑎 − 34\)
\(𝑐^2 = 8𝑏 − 23\)
\(𝑑^2 = 6𝑐 − 14\)
\(𝑒^2 = 4𝑑 − 7\).

---

Solution

Jumlahkan kelima persamaan di atas

\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 𝑑^2 + 𝑒^2 = 10𝑎 + 8𝑏 + 6𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 − 55\)
\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 𝑑^2 + 𝑒^2 − 10𝑎 − 8𝑏 − 6𝑐 − 4𝑑 − 2𝑒 + 55 = 0\)
\((𝑎 − 5)^2 − 25 + (𝑏 − 4)^2 − 16 + (𝑐 − 3)^2 − 9 + (𝑑 − 2)^2 − 4 + (𝑒 − 1)^2 − 1 + 55 = 0\)
\((𝑎 − 5)^2 + (𝑏 − 4)^2 + (𝑐 − 3)^2 + (𝑑 − 2)^2 + (𝑒 − 1)^2 = 0\)

diperoleh \(𝑎 = 5, 𝑏 = 4, 𝑐 = 3, 𝑑 = 2\) dan \(𝑒 = 1\)

Jadi jumlah dari \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55\)

Untuk memastikan mendapatkan 5 bola bernomor satu maka terlebih dahulu menghabiskan bola yang diada di keranjang bernomor 2, 3, 4 dan 5, banyak pengambilan ada 27(4) = 108. Setelah itu dilanjutnya mengambil 5 bola di keranjang bernomor 1. Jadi banyak pengambilan minimal sehingga dipastikan mendapat bola bernomor 5 adalah 108 + 5 = 113 pengambilan.

Karena kedua garis berpotongan di titik \((16, 27)\) maka memenuhi
\(𝑦 =\frac{5}{4}𝑥 + 𝑚 ⇒ 𝑚 = 𝑦 −\frac{5}{4}𝑥 = 27 −\frac{5}{4}(16) = 27 − 20 = 7\)
dan
\(𝑦 =\frac{3}{2}𝑥 + 𝑛 ⇒ 𝑛 = 𝑦 −\frac{3}{2}𝑥 = 27 −\frac{3}{2}(16) = 27 − 24 = 3\)
Jadi nilai \(𝑚 + 𝑛 = 7 + 3 = 10\)

\(((𝑥 + 2𝑦) + 4)^8 = {8\choose 8}(𝑥 + 2𝑦)^84^0 + {8\choose 7}(𝑥 + 2𝑦)^74^1 + ⋯ + {8\choose 0}(𝑥 + 2𝑦)^04^8\)
Bagian \(𝑥^5𝑦^2\) muncul di expansi \({8\choose 7}(𝑥 + 2𝑦)^74^1\).

\((𝑥 + 2𝑦)^7 = {7\choose 7}𝑥^7 + {7\choose 6}𝑥^6(2𝑦) + {𝟕\choose 𝟓}𝒙^𝟓(𝟐𝒚)^𝟐 + ⋯ + {7\choose 7}(2𝑦)^7\)

Jadi koefisien dari \(𝑥^5𝑦^2\) adalah \({8\choose 7}4{7\choose 5}2^2 = 2688\)

\(\sqrt{20475. 𝑥} = \sqrt{225(91)(𝑥)} = 15\sqrt{91𝑥}\)
Karena \(91\) tidak mempunyai factor kuadrat selain \(1\) maka nilai \(x\) yang memenuhi agar \(\sqrt{91𝑥}\) adalah
bilangan bulat adalah \(𝑥 = 91\)

Misalkan perpotongan AP dan DN adalah titik X, DM dan AP adalah titik Y dan DM dan AN adalah titik Z.

\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
\(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝑊𝑌 ≈ Δ𝐴𝐷𝑃\), maka berlaku perbandingan
\(\frac{𝑊𝑌}{𝐷𝑃}=\frac{𝐴𝑊}{𝐴𝐷}⇒ 𝑊𝑌 =\frac{2}{4}(2) = 1\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝐶𝑁, ∠𝐷𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐷𝑁, ∠𝐷𝐴𝑀 = ∠𝐷𝐶𝑁 = 90°, ∠𝐶𝑁𝐷 = ∠𝐷𝑃𝐴\).
Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃\) dan \(Δ𝐷𝑃𝑋\), karena \(∠𝑋𝐷𝑃 = ∠𝐷𝐴𝑃\) dan \(∠𝐷𝑃𝑋 = ∠𝐷𝑃𝐴\) maka \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝑋𝑃\),
akibatnya \(∠𝐴𝐷𝑃 = ∠𝐷𝑋𝑃 = 90°\), juga berlaku perbandingan
\(\frac{𝑃𝑋}{𝑋𝐷}=\frac{𝑋𝐷}{𝐴𝑋}=\frac{𝐷𝑃}{𝐴𝐷}=\frac{1}{2}\)
\(⇒ 4𝑃𝑋 = 𝐴𝑋 ⇒ 𝑃𝑋: 𝐴𝑋 = 1: 4\)
Dengan menngunakan rumus pythagoras
\(𝐴𝑃 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Panjang \(AX =\frac{4}{5}\sqrt{5}\),
panjang \(DX=\frac{1}{2}𝐴𝑋=\frac{1}{2}(\frac{4}{5}
\sqrt{5})=\frac{2}{5}\sqrt{5}\)
Jadi luas
\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
\(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) =

Misalkan
\(𝑛^2 + 24𝑛 + 16 = 𝑚^2\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 144 + 16 = 𝑚^2\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 𝑚^2 = 144 − 16\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 𝑚^2 = 128\)
\(⇒(𝑛 + 𝑚 + 12)(𝑛 − 𝑚 + 12) = 128\)
Karena \((𝑛 + 𝑚 + 12)\) 𝑑𝑎𝑛 \((𝑛 − 𝑚 + 12)\) memiliki paritas sama dan \((𝑛 + 𝑚 + 12)>(𝑛 − 𝑚 + 12)\) maka
\((𝑛 + 𝑚 + 12)(𝑛 − 𝑚 + 12) = 64 × 2 = 16 × 8 = 32 × 4\)
Nilai \(n\) maksimum dicapai ketika nilai
\(𝑛 + 𝑚 + 12 = 64\)
\(𝑛 − 𝑚 + 12 = 2\)
Jumlahkan kedua persamaan, diperoleh
\(2𝑛 + 24 = 66 ⇒ 2𝑛 = 42 ⇒ 𝑛 = 21\)
Jadi nilai \(n\) terbesar adalah \(21\)

\(\frac{\sqrt{𝑎^2 − 18}}{3}= 2 ⇒ \sqrt{𝑎^2 − 18} = 6 ⇒ 𝑎^2 − 18 = 36 ⇒ 𝑎^2 = 54\)
\(\sqrt{𝑏^2 − 98}{7}= 2 ⇒ \sqrt{𝑏^2 − 98} = 14 ⇒ 𝑏^2 − 98 = 196 ⇒ 𝑏^2 = 294\)
\(\frac{\sqrt{𝑐^2 − 32}}{4}= 2 ⇒ \sqrt{𝑐^2 − 32} = 8 ⇒ 𝑐^2 − 32 = 64 ⇒ 𝑐^2 = 96\)
Jadi nilai dari
\(\sqrt{𝑎^2 + 27} + \sqrt{𝑏^2 + 147} + \sqrt{𝑐^2 + 48}\)
\(= \sqrt{54 + 27} + \sqrt{294 + 147} + \sqrt{94 + 48}\)
\(= \sqrt{81} + \sqrt{441} + \sqrt{144} = 9 + 21 + 12 = 42\)

Dengan menggunakan rumus pyhtagoras diperoleh persamaan
\(𝑛^2 + 𝑚^2 = (𝑛 + 1)^2\)
\(𝑛^2 + 𝑚^2 = 𝑛^2 + 2𝑛 + 1\)
\(𝑚^2 = 2𝑛 + 1\)
\(2𝑛 = 𝑚^2 − 1\)
\(𝑛 =\frac{𝑚^2 − 1}{2}≤ 60\)
Kemungkinan nilai \(m\) adalah \(\{4, 12, 24, 40, 60\}\), jadi banyaknya segitiga yang terbentuk bergantung banyaknya nilai m yang memenuhi yaitu sebanyak \(5\) segitiga.

karena koefisien dari \(𝑦^2\) adalah \(-1\) maka kemungkinan
\((𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦 + 𝑑)\)
\(= 𝑥^2 − 𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦^2 + 𝑦𝑑 + 𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑏𝑑\)
\(= 𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑\)
Karena \(𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑 = 𝑥^2 − 𝑦^2 + 11𝑥 + 7𝑦 + 18\), maka diperoleh
\(𝑑 + 𝑏 = 11, 𝑑 − 𝑏 = 7\) dan \(𝑏𝑑 = 18\), nilai \(𝑏\) dan \(𝑑\) yang memenuhi adalah \(2\) dan \(9\).
Jadi nilai dari
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 + 2 − 1 + 9 = 11\)

\(2^𝑥 + 2^𝑦 = 20\)
\(2^𝑥 + 2^{6−𝑥} = 20\)
\(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20\)
Misalkan \(𝑎 = 2𝑥\), diperoleh
\(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20 ⇒ 𝑎 +\frac{64}{𝑎}= 20 ⇒ 𝑎^2 − 20𝑎 + 64 = 0 ⇒ (𝑎 − 16)(𝑎 − 4) = 0\)
Nilai 𝑎 yang memenuhi adalah \(4\) dan \(16\).
Untuk \(𝑎 = 4 ⇒ 2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2\)
Untuk \(𝑎 = 16 ⇒ 2𝑥 = 16 ⇒ 𝑥 = 4\)
Karena \(𝑥 + 𝑦 = 6\), maka pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((2,4)\) dan \((4,2)\)

\(\begin{align}
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 𝑛^3 &= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)^2\\
&=1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 40^3\; mod\; 9\\
&= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 40)^2\; mod\; 9\\
&=\left(\frac{41(40)}{2}\right)^2\;mod\; 9\\
&= (41 × 20)^2\; mod\; 9\\
&= (5 × 2)^2\; mod\; 9\\
&= 100\; mod\; 9\\
&= 1\\
\end{align}\)

Dua angka pertama pada bilangan 3 digit tersebut adalah {20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97} Agar habis dibagi 9 dan genap maka bilangan terakhir yang harus di tambahkan sehingga memenuhi syarat adalah bilangan akhirnya genap dan jumlah digitnya habis dibagi 9.
Dengan melakukan observasi bilangan yang memenuhi adalah 648, 756, 864 dan 972. Jadi banyaknya bilangan yang memenuhi ada 4 bilangan.

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

Kurangkan persamaan awal dengan hasil \(\frac{1}{2}\) kali persamaan awal

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

\(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}+ ⋯ =\frac{1}{2}𝑝\)
_________________________________-
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+ ⋯ )=\frac{1}{2}p\)
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(\frac{\frac{2}{8}}{1−\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ \left(\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{1}{2}) =\frac{1}{2}𝑝\)

Kalikan kedua ruas dengan 4, diperoleh

\(2𝑝 = 2 + 3 + 2 = 7\)

Luas daerah yang tidak diarsir bagian \(A\) dan Bagian \(B\) adalah sama

\(\frac{1}{9}𝐴 =\frac{4}{15}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}\)

perbandingan luas daerah \(A\) terhadap luas daerah \(B\) adalah \(12 : 5\)

\(\begin{align}
3^{1990}\; mod\; 41 &= (3^4)^{497}. 3^2\; mod\; 41\\
&= (81)^{497}. 9\; mod\; 41\\
&= (−1)^{497}. 9 mod 41\\
&= -9\; mod\; 41\\
&= 32\\
\end{align}\)

\(\frac{𝑎}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑎}\)
\(=\frac{𝑎+𝑐}{𝑏}+\frac{𝑎+𝑏}{𝑐}+\frac{𝑏+𝑐}{𝑎}\)
\(=\frac{26−𝑏}{𝑏}+\frac{26−𝑐}{𝑐}+\frac{26−𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}-\frac{𝑏}{𝑏}+\frac{26}{𝑐}−\frac{𝑐}{𝑐}+\frac{26}{𝑎}−\frac{𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}− 1 +\frac{26}{𝑐}− 1 +\frac{26}{𝑎}− 1\)
\(= 26 (\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}) − 3\)
\(= 26(28) − 3\)
\(= 725\)

Terdapat \(9\) bilangan non negative, misalkan nilai mediannya adalah \(m\) (bilangan kelima) karena yang dicari nilai \(m\) maksimum maka \(4\) bilangan sebelum bilangan \(m\) adalah yang paling minimum yaitu \(0\), kemudian bilangan setelah \(m\) adalah \(m\) juga. Susunan bilangannnya adalah \(0, 0, 0, 0 , 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚\). Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{4(0) + 5𝑚}{9}= 10\)
\(⇒ 5𝑚 = 90\)
\(⇒ 𝑚 = 18\)

Jadi nilai median maksimum adalah \(18\)

banyak bilangan 4 digit yang salah satu digitnya muncul lebih dari sekali sama dengan banyaknya bilangan 4 digit dikurang dengan banyaknya bilangan 4 digit yang digitnya berbeda.
Banyaknya bilangan 4 digit ada 9000
Banyaknya bilangan 4 digit berbeda 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
Jadi banyak bilangan 4 digit yang memenuhi adalah 9000 – 4536 = 4464

Misalkan

\(𝑝 + 𝑞 = 𝑥^2 … (1)\)
\(𝑝 + 7𝑞 = 𝑦^2 … (2)\)

Kurangkan persamaan (2) dan (1), diperoleh

\(6𝑞 = 𝑦2 − 𝑥2 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥)\)

Karena \(6𝑞\) bilangan genap maka salah satu dari \(𝑦 − 𝑥\) atau \(𝑦 + 𝑥\) adalah genap. Jika \(y-x\) genap maka \(x\) dan \(y\) memiliki paritas sama sehingga dipastikan \(y+x\) genap. Karena keduanya genap maka \(6q\) adalah kelipatan \(4\).
Karena \(𝑞\) bilangan prima maka bilangan \(𝑞\) yang memenuhi hanya \(𝑞 = 2\).
Subtitusi \(q = 2\) ke persamaan

\(6𝑞 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥) = 12\)

Nilai yang memenuhi adalah
\(𝑦 + 𝑥 = 6\)
\(𝑦 − 𝑥 = 2\)
______________-
\(2𝑥 = 4\)
\(𝑥 = 2\)
Subtitusi nilai \(q\) dan \(x\) ke persamaan (1) diperoleh
\(𝑝 + 2 = 4 ⇒ 𝑝 = 2\)
Jadi banyaknya pasangan \(p\) dan \(q\) hanya \(1\) yaitu \((2,2)\)

Kalikan persaamaan \((1), (2), (3)\) dan \((4)\) dengan \(12, 6, 4\) dan \(3\)

\(24𝑥 + 12𝑦 + 12𝑧 + 12 𝑤 = 12\)
\(6𝑥 + 18𝑦 + 6𝑧 + 6𝑤 = 12\)
\(4𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 + 4𝑤 = 12\)
\(3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 + 15𝑤 = 75\).

Jumlahkan keempat persamaan

\(37𝑥 + 37𝑦 + 37𝑧 + 37𝑤 = 111\)
\(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 3 … (5)\)

Kurangkan persamaan \((4)\) dengan \((5)\)

\(4𝑤 = 22 ⇒ 𝑤 =\frac{11}{2}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\(\begin{align}
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 𝑛^3 &= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)^2\\
&=1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 40^3\; mod\; 9\\
&= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 40)^2\; mod\; 9\\
&=\left(\frac{41(40)}{2}\right)^2\;mod\; 9\\
&= (41 × 20)^2\; mod\; 9\\
&= (5 × 2)^2\; mod\; 9\\
&= 100\; mod\; 9\\
&= 1\\
\end{align}\)

Dua angka pertama pada bilangan 3 digit tersebut adalah {20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97} Agar habis dibagi 9 dan genap maka bilangan terakhir yang harus di tambahkan sehingga memenuhi syarat adalah bilangan akhirnya genap dan jumlah digitnya habis dibagi 9.
Dengan melakukan observasi bilangan yang memenuhi adalah 648, 756, 864 dan 972. Jadi banyaknya bilangan yang memenuhi ada 4 bilangan.

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

Kurangkan persamaan awal dengan hasil \(\frac{1}{2}\) kali persamaan awal

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

\(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}+ ⋯ =\frac{1}{2}𝑝\)
_________________________________-
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+ ⋯ )=\frac{1}{2}p\)
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(\frac{\frac{2}{8}}{1−\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ \left(\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{1}{2}) =\frac{1}{2}𝑝\)

Kalikan kedua ruas dengan 4, diperoleh

\(2𝑝 = 2 + 3 + 2 = 7\)

Luas daerah yang tidak diarsir bagian \(A\) dan Bagian \(B\) adalah sama

\(\frac{1}{9}𝐴 =\frac{4}{15}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}\)

perbandingan luas daerah \(A\) terhadap luas daerah \(B\) adalah \(12 : 5\)

\(\begin{align}
3^{1990}\; mod\; 41 &= (3^4)^{497}. 3^2\; mod\; 41\\
&= (81)^{497}. 9\; mod\; 41\\
&= (−1)^{497}. 9 mod 41\\
&= -9\; mod\; 41\\
&= 32\\
\end{align}\)

\(\frac{𝑎}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑎}\)
\(=\frac{𝑎+𝑐}{𝑏}+\frac{𝑎+𝑏}{𝑐}+\frac{𝑏+𝑐}{𝑎}\)
\(=\frac{26−𝑏}{𝑏}+\frac{26−𝑐}{𝑐}+\frac{26−𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}-\frac{𝑏}{𝑏}+\frac{26}{𝑐}−\frac{𝑐}{𝑐}+\frac{26}{𝑎}−\frac{𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}− 1 +\frac{26}{𝑐}− 1 +\frac{26}{𝑎}− 1\)
\(= 26 (\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}) − 3\)
\(= 26(28) − 3\)
\(= 725\)

Terdapat \(9\) bilangan non negative, misalkan nilai mediannya adalah \(m\) (bilangan kelima) karena yang dicari nilai \(m\) maksimum maka \(4\) bilangan sebelum bilangan \(m\) adalah yang paling minimum yaitu \(0\), kemudian bilangan setelah \(m\) adalah \(m\) juga. Susunan bilangannnya adalah \(0, 0, 0, 0 , 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚\). Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{4(0) + 5𝑚}{9}= 10\)
\(⇒ 5𝑚 = 90\)
\(⇒ 𝑚 = 18\)

Jadi nilai median maksimum adalah \(18\)

banyak bilangan 4 digit yang salah satu digitnya muncul lebih dari sekali sama dengan banyaknya bilangan 4 digit dikurang dengan banyaknya bilangan 4 digit yang digitnya berbeda.
Banyaknya bilangan 4 digit ada 9000
Banyaknya bilangan 4 digit berbeda 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
Jadi banyak bilangan 4 digit yang memenuhi adalah 9000 – 4536 = 4464

Misalkan

\(𝑝 + 𝑞 = 𝑥^2 … (1)\)
\(𝑝 + 7𝑞 = 𝑦^2 … (2)\)

Kurangkan persamaan (2) dan (1), diperoleh

\(6𝑞 = 𝑦2 − 𝑥2 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥)\)

Karena \(6𝑞\) bilangan genap maka salah satu dari \(𝑦 − 𝑥\) atau \(𝑦 + 𝑥\) adalah genap. Jika \(y-x\) genap maka \(x\) dan \(y\) memiliki paritas sama sehingga dipastikan \(y+x\) genap. Karena keduanya genap maka \(6q\) adalah kelipatan \(4\).
Karena \(𝑞\) bilangan prima maka bilangan \(𝑞\) yang memenuhi hanya \(𝑞 = 2\).
Subtitusi \(q = 2\) ke persamaan

\(6𝑞 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥) = 12\)

Nilai yang memenuhi adalah
\(𝑦 + 𝑥 = 6\)
\(𝑦 − 𝑥 = 2\)
______________-
\(2𝑥 = 4\)
\(𝑥 = 2\)
Subtitusi nilai \(q\) dan \(x\) ke persamaan (1) diperoleh
\(𝑝 + 2 = 4 ⇒ 𝑝 = 2\)
Jadi banyaknya pasangan \(p\) dan \(q\) hanya \(1\) yaitu \((2,2)\)

Kalikan persaamaan \((1), (2), (3)\) dan \((4)\) dengan \(12, 6, 4\) dan \(3\)

\(24𝑥 + 12𝑦 + 12𝑧 + 12 𝑤 = 12\)
\(6𝑥 + 18𝑦 + 6𝑧 + 6𝑤 = 12\)
\(4𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 + 4𝑤 = 12\)
\(3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 + 15𝑤 = 75\).

Jumlahkan keempat persamaan

\(37𝑥 + 37𝑦 + 37𝑧 + 37𝑤 = 111\)
\(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 3 … (5)\)

Kurangkan persamaan \((4)\) dengan \((5)\)

\(4𝑤 = 22 ⇒ 𝑤 =\frac{11}{2}\)

Misalkan:
\(0,111 … = 𝑥\)
\(1,111 … = 10𝑥\)
___________________ −
\(1 = 9𝑥\)
\(𝑥 =\frac{1}{9}\)

Jadi \(0,111 … =\frac{1}{9}\)

Karena hasilnya angka satuannya adalalah maka hasil kali 7 dan B juga angka satuannya adalah 3, nilai B yang memenuhi adalah 9. Dengan melakukan percobaan diperoleh nilai A yang memenuhi adalah 3. Jadi nilai A+B=3+9=12

dari gambar panjang sisi persegi sama dengan jari-jari lingkaran yaitu \(r\)

Luas daerah yang diaarsir adalah luas seperempat lingkaran

\(\frac{1}{4}𝜋𝑟^2 = 𝜋\)
\(\frac{1}{4}𝑟^2 = 1\)
\(𝑟^2 = 4\)

\(\begin{align}
\text{Luas bangun adalah} &= \text{Luas tigaperempat lingkaran + luas [IFGH]}\\
&=\frac{3}{4}πr^2 + r^2\\
&=\frac{3}{4}π(4)+4\\
&=3π+4\\
\end{align}\)

\(𝑎 + 𝑏 = 19\)
\(𝑎 − 𝑏 = 5\)
__________________ +
\(2𝑎 = 24\)
\(𝑎 = 12\)
Karena \(𝑎 = 12\) maka \(𝑏 = 7\)
Jadi hasil kali kedua bilangannya adalah \(84\)

2017 𝑚𝑜𝑑 7 = 1

Jadi 2017 hari yang akan datang adalah 1 hari setelah hari selasa yaitu hari rabu

misalkan banyak putaran pada roda besar adalah \(n\)

\(\text{Panjang lintasan roda kecil = Panjang lintasan roda besar}\)
\(2𝜋𝑟(60) = 2𝜋𝑅(𝑛)\)
\(1(60) = 5𝑛\)
\(𝑛 =\frac{60}{5}=12\)

\(\begin{align}
(1 −\frac{1}{3})(1 −\frac{1}{4})(1 −\frac{1}{5})(1 −\frac{1}{6})&=(\frac{3}{3} −\frac{1}{3})(\frac{4}{4} −\frac{1}{4})(\frac{5}{5} −\frac{1}{5})(\frac{6}{6} −\frac{1}{6})\\
&=(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})\\
&=\frac{2}{6}\\
&=\frac{1}{3}\\
\end{align}\)

Misalkan:
M : Modal awal , moda dalam persen adalah \(100\%\)
Dalam persen, harga jual supaya untung \(60\%\) adalah \(160\%\)
dengan menggunakan perbandingan :

\(\frac{𝑀}{24000}=\frac{100}{160}\)

\(⇒ 𝑀 =\frac{100(24000)}{160}= 15000\)

Modal \(15.000\), harga jual \(18.000\), keuntungan \(3.000\)

Persentasi keuntungan : \(\frac{3000}{15000}× 100\% = 20\%\)

Jadi besar keuntungan adalah \(20\%\)

Berdasarkan keterangan soal , 3 dewasa kapasitasnya sama dengan 4 anak-anak. Apabila sudah terisi 12 dewasa maka ada kapasitas 6 dewasa lagi yang bisa naik dikapal, tapi karena yang ditanyakan berapa anak lagi maka 6 dewasa sama saja dengan 8 anak. Jadi berapa anak lagi paling banyak yang bisa ikut berangkat menaiki kapal adalah 8 anak.

Jumlah sudut segitiga sama dengan 180°
Jadi besar sudut 𝐶𝐴𝐷 = 180 − 48 − 29 − 43 = 60°

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Senin&Selasa&Rabu&Kamis&Jumat&Sabtu&Minggu\\
\hline
&1&&&&&\\
\hline
&8&&&&&\\
\hline
&15&&&&&20\\
\hline
21&22&&&&&\\
\hline
&29&&&&&\\
\hline
\end{array}\)

Ketika tanggal 1 hari selasa maka terlihat bahwa tanggal ganjil ada 3 yaitu tanggal 1, 15 dan 29. Jadi tanggal 20 jatuhnya di hari minggu

\(\begin{align}
\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{2}{3+\frac{1}{2}}}}&=\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{2}{\frac{7}{2}}}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{4}{7}}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{2}{\frac{18}{7}}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{14}{18}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{7}{9}}\\
&=\frac{1}{\frac{16}{9}}\\
&=\frac{9}{16}\\
\end{align}\)

Perhatikan daerah arsiran bagian lingkaran tengah atas, jika bagian tersebut dipindahkan ke lingkaran tengah bawah maka membentuk satu arsiran lingkaran utuh, demikian juga daerah arsiran bagian lingkaran kanan atas, apabila dipindahkan ke bagian lingkaran kiri bawah maka akan membentuk arsiran satu lingkaran. Jadi luas lingkaran yang diarsir sama dengan 2 kali luas lingkaran yang berjari-jari 5 cm

\(𝐿 = 2𝜋𝑟^2 = 2(3,14)(5)^2 = 50(3,14) = 157\; 𝑐𝑚^2\)

Jelas jawaban B

Banyak segitiga arsiran adalah \(1\)
Banyak segitiga seluruhnya adalah \(18\)
Luas daerah yang diarsir : \(\frac{1}{18}\)

Polanya adalah penjumlahan tiga bilangan sebelumnya, jadi nilai \(𝐴\) adalah

\(𝐴 = 6 + 11 + 20 = 37\)

Nilai 𝐶 = 15 × 3 = 45
Nilai 𝑋 = 45 ÷ 5 = 9

Banyak kandang 20 kandang, 1 kandang berisi 2 ayam dan 19 kandang berisi 6 ayam. Jadi banyak ayam yang dimiliki pak Ali adalah 19 × 6 + 1 × 2 = 114 + 2 = 116 ayam

Kecapatan Caca 30km/jam
Kecepatan Cici 50 km/jam
Mereka berangkat dari kota A, karena Caca berangkat lebih dulu 2 jam dari pada Cici maka Cici baru berangkat saat Caca sudah menempuh jarak 60 km dari kota A .
Misalkan jarak tempuh ketika mereka berpapasan dari kota A adalah 𝑆.
Jarak tempuh S dengan menggunakan kecepatan Caca adalah 60 + 30𝑡
Jarak tempuh S dengan menggunakan kecepatan Cici adalah 50(𝑡 − 2)
𝑡 merupakan waktu tempuh Caca untuk keduanya berpapasan, karna ada rentang 2 jam Cici tidak melakukan perjalanan maka waktu tempuhnya berkurang 2 jam yaitu 𝑡 − 2.
Samakan persamaan jarak yang ditempuh Cici dan Caca

\(𝑆 = 𝑆\)
\(60 + 30𝑡 = 50(𝑡 − 2)\)
\(60 + 30𝑡 = 50𝑡 − 100\)
\(50𝑡 − 30𝑡 = 60 + 100\)
\(50𝑡 − 30𝑡 = 60 + 100\)
\(20𝑡 = 160\)
\(𝑡 = 8\; 𝑗𝑎𝑚\)

Jadi mereka berpapasan 8 jam setelah pukul 10.00 yaitu pukul 18.00 WIB

\(103^8 mod\; 10=3^8\; mod\;10=3^4.3^4\;mod\;10=81.81\;mod\;10=1\)

Misalkan
\(𝑥 + 224 = 𝑚^2 …(1)\)
\(𝑥 + 496 = 𝑛^2 …(2)\)
Eliminasi persamaan \((2)\) dan \((1)\)
\(𝑛^2 − 𝑚^2 = 272\)
\((𝑛 − 𝑚)(𝑛 + 𝑚) = 2 × 136 = 4 × 68\)
agar \(n\) dan \(m\) bilangan bulat maka  perkalian dua bilangan yang menghasilkan 272 harus genap dengan genap atau ganjil dengan ganjil. 

Nilai \(n\) maksimum maka yang dipilih adalah
\(𝑛 + 𝑚 = 136\)
\(𝑛 − 𝑚 = 2\)
____________+
\(2𝑛 = 138\)
\(𝑛 = 69\)
Subtitusi nilai \(n=69\) ke persamaan \((2)\) diperoleh nilai maksimum \(x\) adalah \(𝑥 = 692 − 496 = 4265\)

\(8𝑎^𝑎𝑏^𝑏 = 27𝑎^𝑏𝑏^𝑎\)
\(⇒\frac{𝑎^𝑎𝑏^𝑏}{𝑎^𝑏𝑏^𝑎} =\frac{27}{8}\)
\(⇒\frac{𝑎^{𝑎−𝑏}}{𝑏^{𝑎−𝑏}} =\frac{27}{8}\)
\(⇒ (\frac{𝑎}{𝑏})^{𝑎−𝑏}=\frac{27}{8}\)

Kemungkinan 1 :
\(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{3}{2}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = 3\), nilai yang memenuhi \(𝑎 = 9\) dan \(𝑏 = 6\)
Kemungkinan 2 :
\(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{27}{8}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = 1\), tidak punya solusi
Kemungkinan 3 :
\(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{2}{3}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = −3\), nilai yang memenuhi \(𝑎 = 6\) dan \(𝑏 = 9\)
Kemungkinan 4 :
\(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{8}{27}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = −1\), tidak punya solusi
Jadi nilai dari \(𝑎^2 + 𝑏^2 = 9^2 + 6^2 = 6^2 + 9^2 = 117\)

Warna domino yang tersedia MM, MB, BM dan BB, kemungkinan susunan warna adalah 
MM, MB, BB, BM
BM, MM, MB, BB
MB, BB, BM, MM
BB, BM, MM, MB

Ada 4 cara menyusun kartu domino

Misalkan titik \(O\) adalah titik pusat lingkaran dan misalkan titik
\(F\) adalah perpotongan \(OE\) dan \(CD\). Diketahui \(AB = BC = CD = AD= 1\) satuan
Misalkan lagi \(DF = x\), dengan menggunakan rumus Pythagoras
\(𝑂𝐷^2 = 𝐷𝐹^2 + 𝑂𝐹^2\)
\(⇒𝑟^2 = 𝑥^2 + (1 − 𝑟)^2\)
\(⇒𝑟^2 = 𝑥^2 + 𝑟^2 − 2𝑟 + 1\)
\(⇒2𝑟 = 𝑥^2 + 1\)

Selanjutnya
\(𝐷𝐸 = \sqrt{𝐸𝐹^2 + 𝐷𝐹^2} = \sqrt{1 + 𝑥^2} = \sqrt{2𝑟} = \sqrt{2(\frac{32}{49}}) = \sqrt{64}{49}=\frac{8}{7}\)

Diperoleh \(𝑚 = 8\) dan \(𝑛 = 7\) jadi nilai dari \(100𝑚 + 𝑛 = 807\)

Misalkan banyak bola hitam \(𝑘, 𝑘 ≥ 2\),
Peluang terambilnya bola putih pada pengambilan pertama adalah \(\frac{𝑛}{𝑛+𝑘}\)
Peluang terambilnya bola hitam pada pengambilan kedua adalah \(\frac{𝑘}{𝑛+𝑘−1}\)
Peluang terambilnya bola putih pada pengambilan pertama dan bola hitam pada pengambilan kedua adalah

\(\frac{𝑛}{𝑛 + 𝑘}×\frac{𝑘}{𝑛 + 𝑘 − 1}=\frac{𝑛}{100}\)
\((𝑛 + 𝑘)(𝑛 + 𝑘 − 1) = 100𝑘\)

Misalkan banyak bola seluruhnya adalah \(𝑚 = 𝑛 + 𝑘\), persamaannya menjadi

\(𝑚(𝑚 − 1) = 100𝑘\)
\(𝑘 =\frac{𝑚(𝑚 − 1)}{100}, 𝑚 > 𝑘, 𝑘 ≥ 2\)

Kemungkinan nilai \(m(m-1)\) yang memenuhi \(\{25(24), 76(75)\}\)
Untuk \(𝑚 = 25 ⟹ 𝑘 = 6 ⟹ 𝑛 = 19\)
Untuk \(𝑚 = 76 ⟹ 𝑘 = 57 ⟹ 𝑛 = 19\)
memiliki  solusi uniq
Jadi besar peluangnya adalah \(19\) dalam persen

Karena \(Δ𝐴𝐵𝐶\) dan \(Δ𝐴𝑂𝐶\) memiliki alas yang sama maka perbandingan

\(\frac{𝐵𝑀}{𝑀𝑂}=\frac{[𝐴𝐵𝐶]}{[𝐴𝑂𝐶]}=\frac{2}{3}\)

Panjang \(𝐵𝑀 =\frac{2}{5}𝑂𝐵 =\frac{2}{5}(90) = 36\),

Dengan menggunakan rumus Pythagoras diperoleh \(𝐴𝑀 = 72\)

Jadi \([𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{2}𝐴𝐶(𝐵𝑀) = 𝐴𝑀(𝐵𝑀) = 72(36) = 2592\)

Misalkan titik pusat lingkaran adalah \(O\), Tarik garis dari titik \(O\) ke \(B\) memotong tali busur \(AC\) di titik \(M\). Panjang \(CD= FA, AB = FE\) dan \(BC=ED\) maka \(Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐹𝐷\)
Karena \([𝐴𝐵𝐶] = 𝑛\) maka \([𝐸𝐹𝐷] = 𝑛\).
Karena \([𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹] = 8𝑛\) maka \([𝐴𝐶𝐷𝐹] = 8𝑛 − 2𝑛 = 6𝑛\)
Karena \([𝐴𝑂𝐵] = [𝐹𝑂𝐷] = [𝐶𝑂𝐷] = [𝐴𝑂𝐶]\) dan \([𝐴𝐶𝐷𝐹] = 6𝑛\) maka \([𝐴𝑂𝐶] =\frac{3}{2}𝑛\)

Cara 1
Gunakan rumus \(: \sqrt{(𝑎 + 𝑏) ± 2\sqrt{𝑎𝑏}} = \sqrt{𝑎} ± \sqrt{𝑏}\)
\(\sqrt{45 + 20\sqrt 5} + \sqrt{45 − 20\sqrt 5} = \sqrt{45 + 2 · 10\sqrt 5} + \sqrt{45 − 2 · 10\sqrt 5}\)
\(= \sqrt{45 + 2\sqrt{100 · 5}} + \sqrt{45 − 2\sqrt{100 · 5}}\)
\(= \sqrt{45 + 2\sqrt{20 · 25}} + \sqrt{45 − 2\sqrt{20 · 25}}\)
\(= \sqrt{25} + \sqrt{20} + \sqrt{25} − \sqrt{20}\)
\(= \sqrt{25} + \sqrt{25} = 10\)

Cara 2
Gunakan pemisalan
\(\sqrt{45 + 20\sqrt 5} + \sqrt{45 − 20\sqrt5} = 𝑥\)
Kuadratkan kedua ruas
\(45 + 20\sqrt 5 + 45 − 20\sqrt 5 + 2\sqrt{45} + 20\sqrt 5\sqrt{45} − 20\sqrt 5 = 𝑥^2\)
\(⇒90 + 2\sqrt{45^2 − (20√5)^2} = 𝑥^2\)
\(⇒90 + 2\sqrt{2025 − 2000} = 𝑥^2\)
\(⇒90 + 2\sqrt{25} = 𝑥^2\)
\(⇒90 + 10 = 𝑥^2\)
\(⇒𝑥^2 = 100 ⇒ 𝑥 = 10\)

Misalkan Aku adalah \(A\)

\(𝐴 − 45 = 𝑚^2\)
\(𝐴 + 44 = 𝑛^2\)
________________ −
\(−89 = 𝑚^2 − 𝑛^2\)
\(⇒𝑛^2 − 𝑚^2 = 89\)
\(⇒(𝑛 − 𝑚)(𝑛 + 𝑚) = 89\)

\(𝑛 − 𝑚 = 1\)
\(𝑛 + 𝑚 = 89\)
______________+
\(2𝑛 = 90 ⟹ 𝑛 = 45\)
Jadi nilai \(A\) adalah \(𝐴 = 452 − 44 = 2025 − 44 = 1981\)

Bisa menggunakan pola
Andaiakan : \(𝑛 = 1^2 + 2^2 = 5 ⟹ \sqrt{2(5) − 1} = \sqrt 9 = 3 = 1 + 2\)
Andaikan : \(𝑛 = 2^2 + 3^2 = 13 ⟹ \sqrt{2(13) − 1} = \sqrt{25} = 5 = 2 + 3\)
Andaikan : \(𝑛 = 3^2 + 4^2 = 25 ⟹ \sqrt {2(25) − 1} = \sqrt{49} = 7 = 3 + 4\)
Jadi Jika
\(𝑛 = 2021^2 + 2022^2\) maka nilai dari \(\sqrt{2𝑛 − 1} = 2021 + 2022 = 4043\)

Cara 2:
Mengunakan cara aljabar
Misalkan \(𝑎 = 2021\)
\(𝑛 = 2021^2 + 2022^2 = 𝑎^2 + (𝑎 + 1)^2 = 𝑎^2 + 𝑎^2 + 2𝑎 + 1 = 2𝑎^2 + 2𝑎 + 1\)
Subtitusi ke :
\(\sqrt{2𝑛 − 1} = \sqrt{2(2𝑎^2 + 2𝑎 + 1) − 1}\)
\(= \sqrt{4𝑎^2 + 4𝑎 + 2 − 1}\)
\(= \sqrt{4𝑎^2 + 4𝑎 + 1}\)
\(= \sqrt{(2𝑎 + 1)^2}\)
\(= 2𝑎 + 1\)
\(= 2(2021) + 1\)
\(= 4043\)

\(\begin{align}
99.999.744 &= 100000000 − 256\\
&= 10^8 − 2^8\\
&= (10^4 − 2^4)(10^4 + 2^4)\\
&= (10^2 − 2^2)(10^2 + 2^2)2^4(5^4 + 1)\\
&= (10 − 2)(10 + 2)(104)(16)(626)\\
&= 8(12)(104)(16)2(313)\\
\end{align}\)
Factor prima terbesarnya adalah \(313\)

Cara Pola : Silahkan cari sendiri
Cara aljabar :
Misalkan \(𝑎 = 2020\)
\(\sqrt{2014 × 2018 × 2022 × 2026 + 256}\)
\(= \sqrt{(𝑎 − 6) × (𝑎 − 2) × (𝑎 + 2) × (𝑎 + 6) + 256}\)
\(= \sqrt{(𝑎^2 − 36)(𝑎^2 − 4) + 256}\)
Karena apabila dikalikan menghasilkan persamaan pangkat 4 dan lebih sulit di faktorkan maka kita misalkan lagi \(𝑎^2 − 4 = 𝑥\)
\(= \sqrt{(𝑎^2 − 36)(𝑎^2 − 4) + 256}\)
\(= \sqrt{(𝑎2 − 4 − 32)(𝑎2 − 4) + 256}\)
\(= \sqrt{(𝑥 − 32)𝑥 + 256}\)
\(= \sqrt{𝑥2 − 32𝑥 + 256}\)
\(= \sqrt{(𝑥 − 16)^2}\)
\(= 𝑥 − 16\)
\(= 𝑎^2 − 4 − 16\)
\(= 𝑎^2 − 20 = (2020)^2 − 20 = 4080380\)

Ada hubungannya dengan rumus
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 𝑛^3 = (\frac{𝑛(𝑛 + 1)}{2})^2\)

\(1 × 2 × 3 = (2 − 1)2(2 + 1) = 2(2^2 − 1) = 2^3 − 2\)
\(2 × 3 × 4 = (3 − 1)3(3 + 1) = 3(32 − 1) = 3^3 − 3\)
\(3 × 4 × 5 = (4 − 1)4(4 + 1) = 4(42 − 1) = 4^3 − 4\)
…
\(𝟏𝟖 × 𝟏𝟗 × 𝟐𝟎 = 𝟏𝟗^𝟑 − 𝟏𝟗\)
Jadi penjumlahan di atas dapat ditulis menjadi 

\(1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ⋯ + 𝟏𝟖 × 𝟏𝟗 × 𝟐𝟎\)
\(= 2^3 − 2 + 3^3 − 3 + 4^3 − 4 + ⋯ + 19^3 − 19\)
\(= 2^3 + 3^3 + ⋯ + 19^3 − (2 + 3 + 4 + ⋯ + 19)\)
\(= 1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 19^3 − (1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19)\)
\(= (\frac{19(19 + 1)}{2})^2−\frac{19(19 + 1)}{2}\)
\(= 190^2 − 190 = 35910\)

\(𝑎^𝑏 = 𝑏^𝑎\)
\(𝑎^{2𝑎} = (2𝑎)^𝑎\)
\(𝑎^𝑎𝑎^𝑎 = 2^𝑎𝑎^𝑎\)
\(𝑎^𝑎 = 2^𝑎\)
\(𝑎 = 2\)

Jadi nilai \(𝑏\) adalah \(𝑏 = 2𝑎 = 2(2) = 4\)

\(\begin{align}
(\sqrt[6]8  − \sqrt{18})^2 &= (2^{\frac{1}{2}} − \sqrt{18})^2\\
&= (\sqrt 2 − \sqrt{18})^2\\
&= 2 + 18 − 2\sqrt{36}\\
&= 20 − 12\\
&= 8
\end{align}\)

\((𝑎 + 1)(𝑎 + 2023)\left[\frac{1}{(𝑎 + 1)}−\frac{1}{(𝑎 + 2)}+\frac{1}{(𝑎 + 2)}−\frac{1}{(𝑎 + 3)}+ ⋯ +\frac{1}{(𝑎 + 2022)}−\frac{1}{(𝑎 + 2023)}\right]\)

\(= (𝑎 + 1)(𝑎 + 2023)\left[\frac{1}{(𝑎 + 1)}−\frac{1}{(𝑎 + 2023)}\right]\)

\(= (𝑎 + 1)(𝑎 + 2023)\left[\frac{𝑎 + 2023 − (𝑎 + 1)}{(𝑎 + 1)(𝑎 + 2023)}\right]\)

\(= 2022\)

Misalkan \(𝑎 = 10^6\)
\({10^6(10^6 + 1)(10^6 + 2)(10^6 + 3) + 1}\)
\(= \sqrt{𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2)(𝑎 + 3) + 1}\)
\(= \sqrt{(𝑎^2 + 3𝑎)(𝑎^2 + 3𝑎 + 2) + 1}\)
Misalkan \(𝑏 = 𝑎^2 + 3𝑎 + 1\)
\(= \sqrt{(𝑎^2 + 3𝑎 + 1 − 1)(𝑎^2 + 3𝑎 + 1 + 1) + 1}\)
\(= \sqrt{(𝑏 − 1)(𝑏 + 1) + 1}\)
\(= \sqrt{𝑏^2 − 1 + 1}\)
\(= \sqrt{𝑏^2} = 𝑏 = 𝑎^2 + 3𝑎 + 1\)
Diperoleh
\(\sqrt{10^6(10^6 + 1)(10^6 + 2)(10^6 + 3) + 1}\)
\(= 𝑎^2 + 3𝑎 + 1\)
\(= (10^6)^2 + 3(10^6) + 1\)
\(= 1000000000000 + 3000000 + 1\)
\(= 1000003000001\)
Jadi jumlah digitnya adalah \(1 + 3 + 1 = 5\)

\(\begin{align}
𝑎^3 + 4𝑎^2 + 2011&= 𝑎(𝑎^2 + 𝑎 − 3) + 3𝑎^2 + 3𝑎 + 2011\\
&= 3𝑎^2 + 3𝑎 + 2011\\
&= 3(𝑎^2 + 𝑎) + 2011\\
&= 3(3) + 2011\\
&= 9 + 2011\\
&= 2020\\
\end{align}\)

\(\frac{−10}{7}= −1 +\frac{−3}{7}= −1 +\frac{1}{−\frac{7}{3}}= −1 + +\frac{1}{−2+\frac{-1}{3}}= −1 +\frac{1}{−2+\frac{1}{-3}}\)

Diperoleh \(𝑎 = 1, 𝑏 = 2\), dan \(𝑐 = 3\)
Jadi nilai \(abc\) adalah \((1)(2)(3) = 6\)

Cara Pola
Untuk \(𝑥 = 9 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 1\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(0\)
Untuk \(𝑥 = 8 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 2\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(1\)
Untuk \(𝑥 = 7 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 3\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(2\)
Untuk \(𝑥 = 6 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 4\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(3\)
….
Untuk \(𝑥 = 1 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 9\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(8\)
Jadi banyak solusi ada \((1 + 2 + 3 + …+ 8) = 36\) solusi.

Cara 2
Gunakan teorema star bars
\({{10 − 1}\choose {3-1}} = {9\choose 2} =\frac{9!}{7! ·2!}= 36\)

Mata dadu berjumlah \(4 : \{(2, 2), (1, 3), (3, 1)\}\) ada \(3\)
Mata dadu berjumlah \(8 : \{(4, 4), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2)\}\) ada \(5\)
Mata dadu berjumlah \(12 : \{(6, 6)\}\) ada \(1\)
Jadi peluang jumlah kedua mata dadu habis dibagi 4 adalah
\(\frac{3+5+1}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)

not yet available

not yet available

Misalkan

\(𝑥 − \sqrt{𝑥𝑦} + 𝑦 = 𝐴\)

Kurangkan persamaan \(𝑥 + \sqrt{𝑥𝑦} + 𝑦 = 9\) dan \(𝑥 − \sqrt{𝑥𝑦} + 𝑦 = 𝐴\), diperoleh

\(2\sqrt{𝑥𝑦} = 9 − 𝐴 ⇒ 𝑥𝑦 = \frac{(9 − 𝐴)^2}{2}\)

Jumlahkan persamaan \(𝑥 + \sqrt{𝑥𝑦} + 𝑦 = 9\) dan \(𝑥 − \sqrt{𝑥𝑦} + 𝑦 = 𝐴\), diperoleh

\(2(𝑥 + 𝑦) = 9 + 𝐴\)

Kuadratkan kedua persamaan

\(4(𝑥^2 + 𝑦^2 + 2𝑥𝑦) = (9 + 𝐴)^2\)
\(⇒4(27 + 𝑥𝑦) = (9 + 𝐴)^2\)
\(⇒4 (27 + (\frac{(9-A)^2}{4}) = (9 + 𝐴)^2\)
\(⇒108 + (9 − 𝐴)^2 = (9 + 𝐴)^2\)
\(⇒108 = (9 + 𝐴)^2 − (9 − 𝐴)^2\)
\(⇒18(2𝐴) = 108\)
\(⇒𝐴 = 3\)

not yet available

not yet available

Misalkan keenam sudutnya adalah \(∠𝑎_1, ∠𝑎_2, ∠𝑎_3, ∠𝑎_4, ∠𝑎_5\) dan \(∠𝑎_6\) dimana \(∠𝑎_1 < ∠𝑎_2 < ∠𝑎_3 < ∠𝑎_4 < ∠𝑎_5 < ∠𝑎_6\), karena keenam sudut membentuk pola bilangan genap berurutan maka diperoleh persamaan

\(∠𝑎_1, +∠𝑎_2 + ∠𝑎_3 + ∠𝑎_4 + ∠𝑎_5 + ∠𝑎_6 = 720°\)
\(⇒∠𝑎_6 − 10, +∠𝑎_6 − 8 + ∠𝑎_6 − 6 + ∠𝑎_6 − 4 + ∠𝑎_6 − 2 + ∠𝑎_6 = 720°\)
\(⇒6(∠𝑎_6) − 30° = 720°\)
\(⇒∠𝑎_6 =\frac{750}{6}= 125°\)

Banyak himpunan bagian yang habis dibagi \(7 : ⌊\frac{500}{7}⌋ = 71\)
Banyak himpunan bagian yang habis dibagi \(11 : ⌊\frac{500}{11}⌋ = 45\)
Banyak himpunan bagian yang habis dibagi \(77 : ⌊\frac{500}{77}⌋ = 6\)
Jadi peluang terambilnya bilangan yang habis dibagi \(7\) atau \(11\) adalah \(\frac{71+45−6}{500}=\frac{110}{500}=\frac{11}{50}=\frac{𝑛}{𝑚}\).
Nilai \(𝑛 + 𝑚 = 11 + 50 = 61\)

Misalkan bilangan 3 angka adalah \(\overline{abc}\)

\(\overline{abc}= 34(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)\)
\(⇒100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 34𝑎 + 34𝑏 + 34𝑐\)
\(⇒66𝑎 = 24𝑏 + 33𝑐\)
\(22𝑎 = 8𝑏 + 11𝑐\)
\(22𝑎 − 11𝑐 = 8𝑏\)
\(11(2𝑎 − 𝑐) = 8𝑏\)

Bagian kiri adalah kelipatan \(11\), maka hanya \(1\) nilai \(b\) yang mungkin yaitu \(0\), dikarenakan nilai \(𝑏\) selain \(0\) hasil dari \(8𝑏\) bukan kelipatan \(11\).
karena nilai \(b=0\) maka \((2𝑎 − 𝑐) = 0\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi \(2𝑎 − 𝑐 = 0\) adalah \(\{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)\}\). Jadi banyak bilangan \(3\) digit yang memenuhi ada \(4\) bilangan yaitu \(102, 204, 306,\) dan \(408\).

not yet available

\(𝑥^{2006} > 2006^{1003}\)
\(⇒ 𝑥^{2(1003)} > 2006^{1003}\)
\(⇒ 𝑥^2 > 2006\)
Jadi nilai \(x\) terkecil adalah \(𝑥 = 45\)

not yet available

Gunakan perbandingan segitiga sebangun yaitu segitiga \(𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝐸𝐵𝐹\) dan \(𝐴𝐵𝐷 ≈ 𝐴𝐸𝐹\)
Pada segitiga \(𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝐸𝐵𝐹\)

\(\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑏}=\frac{5}{ℎ}⇒ 𝑎 + 𝑏 =\frac{5𝑏}{ℎ}\)

Pada segitiga \(𝐴𝐵𝐷 ≈ 𝐴𝐸𝐹\)

\(\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑎}=\frac{3}{ℎ}⇒ 𝑎 + 𝑏 =\frac{3𝑎}{ℎ}\)

Samakam kedua persamaan

\(𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏\)
\(⇒\frac{5𝑏}{ℎ}=\frac{3𝑎}{ℎ}\)
\(⇒5𝑏 = 3𝑎\)

Diperoleh perbandingan \(𝑎: 𝑏 = 5 ∶ 3\), misalkan \(𝑎 = 5𝑥\) dan \(𝑏 = 3𝑥\), subtitusi ke persamaan \(𝑎 + 𝑏 =\frac{3𝑎}{ℎ}\), diperoleh
\(ℎ =\frac{3𝑎}{𝑎 + 𝑏}=\frac{15𝑥}{5𝑥 + 3𝑥}=\frac{15}{8}\)

Jadi panjang \(h\) adalah \(\frac{15}{8}\)

not yet available

\((2^{2^2007}+ 1)\; mod\; 10\)
Karena \(2^{2007}\; mod\;4 ≡ 0\), maka bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi \((2^4 + 1)\; mod\; 10 ≡ (16 + 1)\; mod\; 10 = 17\; mod\; 10 = 7\)

not yet available

Misalkan hasil bagian penjumlahan adalah \(A\) dan hasil bagian pengurangan adalah \(B\)

\(𝐴 + 𝐵 = 210\)
\(𝐴 − 𝐵 = 100\)
___________________-
\(2𝐵 = 110\)
\(𝐵 = 55\)

Karena \(B\) merupakan penjumlahan \(3\) angka minus maka banyak kemungkinan  yang jumlahnya \(-55\) adalah \((20. 19, 16), (20, 18, 17)\), hanya ada \(2\), jadi banyak cara mengganti tiga tanda \(“+”\) menjadi tanda \(“-“\) sehingga jumlahnya \(100\) ada \(2\) cara

not yet available

Misalkan \(3^𝑥 − 27 = 𝐴\) dan \(5^𝑥 − 625 = 𝐵\)

\(𝐴^2 + 𝐵^2 = (𝐴 + 𝐵)^2\)
\(⇒𝐴^2 + 𝐵^2 = 𝐴^2 + 𝐵^2 + 2𝐴𝐵\)
\(⇒2𝐴𝐵 = 0\)
\(⇒𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0\)
\(𝐴 = 0 ⇒ 3𝑥 − 27 = 0 ⇒ 𝑥 = 3\),
\(𝐵 = 0 ⇒ 5𝑥 − 625 = 0 ⇒ 𝑥 = 4\)

Jadi jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\)3 + 4 = 7[/latex]

\((𝑥 +\frac{1}{𝑥})^2= 49 ⇒ (𝑥 +\frac{1}{𝑥})= 7\)

Bentuk lain

\((𝑥 +\frac{1}{𝑥})^2= 49 ⇒ 𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2} + 2 = 49 ⇒ 𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2}=47\)

Jadi

\(𝑥^3 +\frac{1}{𝑥^3} = (𝑥 +\frac{1}{𝑥})(𝑥^2 − 1 +\frac{1}{𝑥^2}) = 7(47 − 1) = 7(46) = 322\)