\(\frac{1}{7}×\frac{3}{4}+\frac{2}{7}×\frac{1}{6}+\frac{6}{7}×\frac{1}{12}\)
\(=\frac{1}{7}\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{6}+\frac{6}{12}\right)\)
\(=\frac{1}{7}\left(\frac{9 + 4 + 6}{12}\right)\)
\(=\frac{1}{7}\left(\frac{19}{12}\right)=\frac{19}{84}\)

\(792 = 8 × 9 × 11\)
Karena \(\overline{13xy45z}\) habis dibagi \(792\) maka \(\overline{13xy45z}\) habis dibagi \(8, 9\) dan juga \(11\)

• Syarat habis dibagi \(8\)
  3 angka terakhir habis dibagi \(8\), \(\overline{45z}\) habis dibagi \(8\), nilai \(z\) yang memenuhi adalah \(6\)
• Syarat habis dibagi \(9\)
  Jumlah angkanya habis dibagi \(9\), maka \(1 + 3 + 𝑥 + 𝑦 + 4 + 5 + 6 = 19 + 𝑥 + 𝑦 = 27\),
  diperoleh nilai \(𝑥 + 𝑦 = 8\), pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)\)
• Syarat habis dibagi \(11\),
  Selisih jumlah bilangan diposisi ganjil dan genap bernilai kelipatan \(11\)

\((1 + 𝑥 + 4 + 6) − (3 + 𝑦 + 5) = 𝑘. 11\)
\((11 + 𝑥) − (8 + 𝑦) = 𝑘. 11\)
\(3 + 𝑥 − 𝑦 = 𝑘. 11\)

Kemungkinan nilai \(𝑥 − 𝑦 = \{−3, 8\}\), yang memenuhi \((x,y)=(8, 0)\).

Jadi diperoleh nilai \(y\) yang memenuhi adalah \(0\)

Bagi ke dalam bentuk 3 model segitiga, sama sisi, sama kaki dan siku-siku

Jadi banyak segitiga ada \(16 + 24 + 36 = 76\)

Keliling lingkaran : \(2𝜋𝑟 = 2𝜋(3) = 6𝜋\)
Keliling juring lingkaran : \(\frac{1}{3}(6𝜋) + 3 + 3 = 2𝜋 + 6\)

Jadi perbandingan keliling juring dan keliling lingkaran adalah

\((2𝜋 + 6) ∶ 6𝜋\)
\((𝜋 + 3) ∶ 3𝜋\)

atau dapat ditulis \(\frac{1}{3}+\frac{1}{π}\)

45 = 25 + 20
25 = 17 + 8

dengan mengikuti pola penjumlahan di atas nilai “♡” adalah 8

Untuk

\(5 <\frac{1}{𝑛}+\frac{2}{𝑛}+\frac{3}{𝑛}+ ⋯ +\frac{15}{𝑛}\)
\(5 <\frac{120}{𝑛}⇒ 𝑛 <\frac{120}{5}⇒ 𝑛 < 24\)

Untuk

\(\frac{1}{𝑛}+\frac{2}{𝑛}+\frac{3}{𝑛}+ ⋯ +\frac{15}{𝑛}< 8\)
\(\frac{120}{𝑛}< 8 ⇒\frac{120}{8}< 𝑛 ⇒ 𝑛 > 15\)

Diperoleh batasan nilai \(n\) adalah

\(15 < 𝑛 < 24\)

Nilai \(𝑛\) yang memenuhi adalah \(\{16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}\), jadi nilai \(𝑛\) yang memenuhi banyaknya ada \(8\)

Misalkan kecepatan arus sungai adalah \(x\)

𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐴 𝑘𝑒 𝐵 = 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐵 𝑘𝑒 𝐴
\((28 + 𝑥)5 = (28 − 𝑥)9\)
\(140 + 5𝑥 = 252 − 9𝑥\)
\(14𝑥 = 112\)
\(𝑥 = 8\)

Jadi jarak \(A\) ke \(B\) adalah \((28 − 𝑥)9 = (28 − 8)9 = 20(9) = 180\) 𝑘𝑚

\(3, 4, 10, 24, 49, 88, x\)

Pola beda tingkat pertama : \(1, 6, 14, 25, 39, a\)
Pola beda tingkat kedua : \(5, 8, 11, 14, 17\)
Diperoleh nilai \(𝑎 = 39 + 17 = 56\)

Dengan mengikuti pola di atas, nilai \(x\) adalah \(88 + 56 = 144\)

Karena \(\sqrt{16} < \sqrt{19}\), maka

\(19 + 5\sqrt{16} < 19 + 5\sqrt{19}\)
\(39 < 19 + 5\sqrt{19}\)

Karena \(\sqrt{19} < \sqrt{25}\), maka

\(19 + 5\sqrt{19} < 19 + 5\sqrt{25}\)
\(19 + 5\sqrt{19}<44\)

Selanjutnya

\(39 < 19 + 5\sqrt{19} < 44\)
\(36 < 39 < 19 + 5\sqrt{19} < 44 < 49\)

Sehingga diperoleh

\(6 < \sqrt{19 + 5\sqrt{19}} < 7\)

Jadi bilangan terkecilnya adalah \(6\)

Gradien \(=\frac{Δ𝑦}{Δ𝑥}\)
, dari gambar garis yang memiliki gradient negative adalah garis \(FG, GA\) dan \(DC\). Dengan melakukan obeservasi, pada garis \(FG\) nilai \(Δ𝑦 > Δ𝑥\), karena  \(\frac{Δ𝑦}{Δ𝑥}<0\)  maka nilai gradien garis \(FG\) adalah yang paling kecil

Untuk \(𝑥 = 0\)

\(𝑓(0) = 𝑎(−1)(−2)(−3) + 𝑏(−2)(−3) + 𝑐(−3) + 𝑑 = 5\)
\(⇒ −6𝑎 + 6𝑏 − 3𝑐 + 𝑑 = 5 … (1)\)

Untuk \(𝑥 = 1\)

\(𝑓(1) = 𝑏(−1)(−2) + 𝑐(−2) + 𝑑 = 2 − 3 − 8 + 5 = −4\)
\(⇒ 2𝑏 − 2𝑐 + 𝑑 = −4 … (2)\)

Untuk \(𝑥 = 2\)

\(𝑓(2) = 𝑐(−1) + 𝑑 = 16 − 12 − 16 + 5 = −7\)
\(⇒ −𝑐 + 𝑑 = −7 … (3)\)

Untuk \(𝑥 = 3\)

\(𝑓(3) = 𝑑 = 54 − 27 − 24 + 5 = 8\)
\(⇒ 𝑑 = 8\)

Subtitusi nilai \(𝑑\) ke persamaan (3), dan lanjutkan ke persamaan (2) dan (1) diperoleh nilai \(a, b, c\) berturut turut adalah \(2, 9\) dan \( 15\).
Jadi nilai dari \(4𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = 4(2) + 3(9) + 2(15) + 8 = 73\)

\(\begin{align}
\frac{8}{4×7}+\frac{8}{7×10}+\frac{8}{10×13}+ ⋯ +\frac{8}{61×64}&=8(\frac{1}{4 × 7}+\frac{1}{7 × 10}+\frac{1}{10 × 13}+ ⋯ +\frac{1}{61 × 64})\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}−\frac{1}{7}+\frac{1}{7}−\frac{1}{10}+\frac{1}{10}−\frac{1}{13}+ ⋯ +\frac{1}{61}−\frac{1}{64}\right)\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{1}{4}−\frac{1}{64}\right)\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{16 − 1}{64}\right)\\
&=\frac{8}{3}\left(\frac{15}{64}\right)\\
&=\frac{5}{8}\\
\end{align}\)

Rumus identitas trigonometri \(\cos^2 𝜃 + \sin^2 𝜃 = 1\)

\((\cos 𝜃 + \sin 𝜃)^2 = \cos^2 𝜃 + 2\cos 𝜃 \sin 𝜃 + \sin^2 𝜃 = 1\)
\(2 \cos 𝜃 \sin 𝜃 + 1 = 1\)
\(\cos 𝜃 \sin 𝜃 = 0\)

\(𝑓(1) = (\cos 𝜃 + \sin 𝜃) = −1\)
\(𝑓(2) = \cos^2 𝜃 + \sin^2 𝜃 = 1\)
\(𝑓(3) = \cos^3 𝜃 + \sin^3 𝜃 = (\cos 𝜃 + \sin 𝜃)(\cos^2 𝜃 − \cos 𝜃 \sin 𝜃 + \sin^2 𝜃) = (−1)(1 − 0) = −1\)
\(𝑓(4) = \cos^4 𝜃 + \sin^4 𝜃 = (\cos^2 𝜃 + \sin^2 𝜃)^2 − 2\cos^2 𝜃 \sin^2 𝜃 = 1 − 0 = 1\)
…
diperoleh

\(𝑓(𝑛) = \begin{cases}1, & \text{𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝}\\−1, & \text{𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙}\end{cases}\)

Jadi nilai dari
\(𝑓(2) − 𝑓(3) − 𝑓(5) + 𝑓(10) + 𝑓(18) = 1 − (−1) − (−1) + 1 + 1 = 5\)

Misalkan suku pertama pada barisan aritmatika dan geometri adalah \(𝑝\) 𝑑𝑎𝑛 \(𝑞\), beda dan rasio pada kedua barisan adalah \(𝑏\) dan \(𝑟\), selanjutnya
untuk barisan aritmetika

\(𝑎_4 = 𝑝 + 3𝑏 = 9\)
\(𝑎_7 = 𝑝 + 6𝑏 = 72\)

Eliminasi keduanya diperoleh \(𝑝 = −54\) dan \(𝑏 = 21\)

Untuk barisan geometri

\(𝑏_4 = 𝑞𝑟^3 = 9\)
\(𝑏_7 = 𝑞𝑟^6 = 72\)

Bagi kedua persamaan diperoleh \(𝑟 = 2\) dan \(𝑞 =\frac{9}{8}\)

Jadi nilai \(𝑎_9 + 𝑏_9 = 𝑝 + 8𝑏 + 𝑞𝑟^8 = −54 + 8(21) + \frac{9}{8}(2)^8 = 114 + 288 = 402\)

karena konstantanya 3, maka kemungkinan Akar-akarnya adalah 1, 3 dan -1

\(𝑥^3 + 𝑚𝑥^2 + 𝑛𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0\)
\((𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0\)
\((𝑥^2 − 1)(𝑥 − 3) = 0\)
\(𝑥^3 − 3𝑥^2 − 𝑥 + 3 = 0\)

Samakan dengan persamaan \(𝑥^3 + 𝑚𝑥^2 + 𝑛𝑥 + 3 = 0\), diperoleh \(𝑚 = −3\) dan \(𝑛 = −1\).

jadi nilai dari \(3𝑚 − 4𝑛\) adalah \(3(−3) − 4(−1) = −9 + 4 = −5\)

\(𝑎_{2021} =\frac{2021}{7}= 288,714285714285 …\)

Angka setelah koma membentuk pengulangan \(714285714285….\), berulang setiap 6 angka, maka untuk angka ke\(-2021\)

\(2021\; 𝑚𝑜𝑑\; 6 ≡ 5\)

Angka ke\(-2021\) sama saja dengan angka ke\(-5\) pada pola bilangan di atas yaitu angka \(8\)

\(𝑎_{𝑛+1} = 𝑎_𝑛 + (3𝑛 + 2)\)
\(𝑎_{𝑛+1} − 𝑎_𝑛 = (3𝑛 + 2)\)

Selanjutnya

\(𝑎_2 − 𝑎_1 = 3(1) + 2\)
\(𝑎_3 − 𝑎_2 = 3(2) + 2\)
\(𝑎_4 − 𝑎_3 = 3(3) + 2\)
\(𝑎_5 − 𝑎_4 = 3(4) + 2\)
\(….\)
\(𝑎_{20} − 𝑎_{19} = 3(19) + 2\)

Jumlahkan persamaan di atas diperoleh

\(𝑎_{20} − 𝑎_1 = 3(1 + 2 + 3 + ⋯ + 19) + 2(19) = 570 + 38\)
\(𝑎_{20} − 5 = 570 + 38\)
\(𝑎_{20} = 570 + 38 + 5 = 613\)

Berdasarkan rumus vieta

\(𝑚 + 𝑛 = −5\)
\(𝑚𝑛 = 3\)

Selanjutnya

\(\frac{1 + 𝑚}{1 − 𝑚}+\frac{1 + 𝑛}{1 − 𝑛}\)
\(=\frac{1 − 𝑛 + 𝑚 − 𝑚𝑛 + 1 + 𝑛 − 𝑚 − 𝑚𝑛}{(1 − 𝑚)(1 − 𝑛)}\)
\(=\frac{2−2𝑚𝑛}{1−(𝑚 + 𝑛)+𝑚𝑛}\)
\(=\frac{2 − 2(3)}{1 − (−5) + 3}\)
\(= −\frac{4}{9}\)

\(𝑆(10) = 𝑆(4) + 𝑆(𝑥)\)
\(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 10 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥)\)
\(55 = 10 + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥)\)
\(45 = (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥)\)
\(45=\frac{(1+x)x}{2}\)
\(𝑥 = 9\)

Pertama perbandingan potongan adalah \(2 : 3\), misalkan yang terpendek \(2n\) dan yang
terpanjang adalah \(3n\). Yang terpanjang dipotong menjadi \(2\) bagian dengan perbandingan \(3 ∶ 4\).
Panjang terpendek dari potongan adalah \(\frac{3}{7}(3𝑛) = 126 ⇒ 9𝑛 = 126(7) ⇒ 𝑛 = 98\)
Jadi total panjang tali mula-mula adalah \(2𝑛 + 5𝑛 = 5𝑛 = 5(98) = 490\) cm

\(159999 = 160000 − 1\)
\(= 20^4 − 1\)
\(= (20^2)^2 − 1^2\)
\(= (20^2 − 1)(20^2 + 1)\)
\(= (20 − 1)(20 + 1)(400 + 1)\)
\(= 19 × 3 × 7 × 401\)
Jadi jumlah semua factor prima adalah \(3 + 7 + 19 + 401 = 430\)

\(𝑥 +\frac{1}{𝑦}= 10 ⇒\frac{1}{𝑦}= 10 − 𝑥 ⇒ 𝑦 =\frac{1}{10 − 𝑥}\)
Subtitusi nilai \(𝑦 =\frac{1}{10−𝑥}\)
ke persamaan \(𝑦 +\frac{1}{𝑥}=\frac{5}{12}\)
, diperoleh
\(\frac{1}{10 − 𝑥}+\frac{1}{𝑥}=\frac{5}{12}\)
\(\frac{𝑥 + 10 − 𝑥}{10𝑥 − 𝑥^2} =\frac{5}{12}\)
\(\frac{10}{10𝑥 − 𝑥^2} =\frac{5}{12}\)
\(\frac{2}{10𝑥 − 𝑥^2} =\frac{1}{12}\)
\(10𝑥 − 𝑥^2 = 24\)
\(𝑥^2 − 10𝑥 + 24 = 0\)
\((𝑥 − 6)(𝑥 − 4) = 0\)
Jadi semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(4\) atau \(6\)

Titik \(B\) dicerminkan terhadap garis \(CB\), bayangannya adalah titik \(B’\)
Diperoleh Panjang \(BC = B’C = AD\) dan \(∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐵′𝐷 = 82°\), karena jumlah \(∠𝐶𝐴𝐷 +∠𝐶𝐵′𝐷 = 180°\) maka \(𝐴𝐶𝐵′𝐷\) merupakan segiempat siklik.
Karena panjang \(CB’=AD\) dan \(𝐴𝐶𝐵′𝐷\) merupakan segiempat siklik maka \(∠𝐴𝐶𝐵′ = ∠𝐶𝐴𝐷 =98°\)
Karena \(Δ𝐵𝐶𝐷 ≅ Δ𝐶𝐵′𝐷\) maka salah satu sudut yang bersesuaian \(∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐷𝐶𝐵′ = 70°\)
Jadi \(∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐵′ − 𝐷𝐶𝐵′ = 98 − 70 = 28°\)

Karena \(𝑃(𝑃(1)) = 𝑃(𝑃(2)) = 0\) maka \(𝑃(1)\) dan \(𝑃(2)\) merupakan akar-akar persamaan \(𝑃(𝑥)\) sehingga berlaku

\(𝑷(𝒙) = (𝒙 − 𝑷(𝟏))(𝒙 − 𝑷(𝟐))\)
\(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 − (1 + 𝑏 + 𝑐))(𝑥 − (4 + 2𝑏 + 𝑐))\)
\(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥^2 − 4𝑥 − 2𝑏𝑥 − 𝑐𝑥 − 𝑥 − 𝑏𝑥 − 𝑐𝑥 + (1 + 𝑏 + 𝑐)(4 + 2𝑏 + 𝑐)\)
\(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥^2 − (5 + 3𝑏 + 2𝑐)𝑥 + (1 + 𝑏 + 𝑐)(4 + 2𝑏 + 𝑐)\)

Diperoleh

\(𝑏 = 3𝑏 + 2𝑐 + 5\)
\(2𝑏 + 2𝑐 = −5\)
\(𝑏 + 𝑐 = −\frac{5}{2}\)
Dan
\(𝑐 = (1 + 𝑏 + 𝑐)(4 + 2𝑏 + 𝑐)\)
\(𝑐 = (1 −\frac{5}{2})(4 + 2 (−\frac{5}{2}− 𝑐) + 𝑐)\)
\(𝑐 = (−\frac{3}{2})(4 − 5 − 2𝑐 + 𝑐)\)
\(𝑐 = (−\frac{3}{2})(−1 − 𝑐)\)
\(𝑐 =\frac{3}{2}+\frac{3}{2}𝑐−\frac{3}{2}=\frac{1}{2}𝑐\)
\(𝑐 = −3\)

Misalkan \(\log_2 3 = 𝑎\)

\(𝐴 =\frac{1}{6}((\log_2 3)^3 − (\log_2 6)^3 − (\log_2 12)^3 + (\log_2 24)^3)\)
\(=\frac{1}{6}((\log_2 3)^3 − (\log_2 3 + \log_2 2)^3 − (\log_2 3 + \log_2 4)^3 + (\log_2 3 + \log_2 8)^3)\)
\(=\frac{1}{6}(𝑎^3 − (𝑎 + 1)^3 − (𝑎 + 2)^3 + (𝑎 + 3)^3)\)
\(=\frac{1}{6}(𝑎^3 − (𝑎^3 + 3𝑎^2 + 3𝑎 + 1) − (𝑎^3 + 6𝑎^2 + 12𝑎 + 8) + (𝑎^3 + 9𝑎^2 + 27𝑎 + 27))\)
\(=\frac{1}{6}(−3𝑎2 − 3𝑎 − 1 + 3𝑎2 + 15𝑎 + 19)\)
\(=\frac{1}{6}(12𝑎 + 18) = 2𝑎 + 3\)
Karena \(\log_2 3 = 𝑎 ⇒ 2^𝑎 = 3\)
Jadi nilai dari \(2^𝐴 = 2^{2𝑎+3} = 2^{2𝑎} . 2^3 = 3^2. 2^3 = 9 × 8 = 72\)

Bilangan kurang dari 5 : {1, 2, 3, 4}
Bilangan komposit : {4, 6, 8, 9, 10, 12}
Ruang sampel pelemparan dua buah dadu adalah 36

•  Jumlah mata dadu 2 : (1,1) ada 1
• Jumlah mata dadu 3 : (1,2) dan (2,1) ada 2
• Jumlah mata dadu 4 : (1,3), (2,2) dan (3,1) ada 3
• Jumlah mata dadu 6 : (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) dan (5,1) ada 5
• Jumlah mata dadu 8 : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), dan (6,2) ada 5
• Jumlah mata dadu 9 : (3,6), (4,5), (5,4), dan (6,3) ada 4
• Jumlah mata dadu 10 : (4,6), (5,5) dan (6,4) ada 3
• Jumlah mata dadu 12 : (6,6) ada 1
  Banyak seluruhnya ada 1 + 2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 24
  Jadi peluanngnya adalah \(\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\)

\(\sqrt{5 + 𝑥} − \sqrt{5 − 𝑥} = 3\)

Kuadratkan kedua ruas

\((\sqrt{5 + 𝑥})^2+ (\sqrt{5 − 𝑥})^2− 2(\sqrt{5 + 𝑥})(\sqrt{5 − 𝑥}) = 3^2\)
\(5 + 𝑥 + 5 − 𝑥 − 2\sqrt{25 − 𝑥^2} = 9\)
\(10 − 2\sqrt{25 − 𝑥^2} = 9\)
\(−2\sqrt{25} − 𝑥^2 = −1\)
\(\sqrt{25 − 𝑥^2} =\frac{1}{2}\)

Kuadratkan kedua ruas, diperoleh

\(25 − 𝑥^2 =\frac{1}{4}\)
\(𝑥^2 = 25 −\frac{1}{4}=\frac{99}{4}\)
\(⇒𝑥=\sqrt{\frac{99}{4}}=\sqrt{\frac{9 × 11}{4}} =\frac{3}{2}\sqrt{11}\)

banyak bilanga kuadrat dari 1 sampai dengan 200 : {1, 4, 9, …, 196} ada 14 bilangan
Banyak bilangan kubik dari 1 sampai dengan 200 : {1, 8, 27, 64, 125} ada 5 bilangan
Banyak bilangan kuadrat sekaligus bilangan kubik dari 1 sampai dengan 200 : {1, 64} ada 2 bilangan .
Banyak bilangan kuadrat atau kubik dari 1 sampai dengan 200 ada 14 + 5 – 2 = 17 bilangan.
Bilangan ke-200 yaitu 200+17=217, tapi karena 216 adalah bilangan kubik maka 216 harus dihilangkan dan digantikan 218. Jadi bilangan yang ke-200 yang memenuhi syarat barisan di atas adalah 218.

penjumlahan 2 bilangan berurutan : 52 + 53
Penjumlahan 3 bilangan berurutan : 34 + 35 + 36
Penjumlahan 5 bilangan berurutan : 19 + 20 + 21 + 22 + 23
Penjumlahan 7 bilangan berurutan :
Penjumlahan 15 bilangan berurutan
Penjumlahan 21 bilangan berurutan:
Penjumlahan 35 bilangan berurutan:
Penjumlahan 105 bilangan berurutan:
(ket : 3, 5, 7, 15, 21, 35 dan 105 dipilih karena habis dibagi 105)
Jadi banyak cara untuk menyatakan bilangan 105 sebagai jumlah dua atau lebih bilangan berurutan ada 8 cara

Kemungkinan pasangan \(4\) bilangan berbeda yang jumlahnya \(12\) adalah
\((1, 2, 3, 6)\) 𝑑𝑎𝑛 \((1, 2, 4, 5)\), permutasi sususunan \(4\) bilangan adalah \(4! = 24\)
Jadi banyak susunan adalah \(24 × 2 = 48\) cara

Segitiga \(ABC\) merupakan segitiga yang terbentuk dari batasan ketiga garis.
Titik \(A\) merupakan perpotongan garis \(𝑦 = 2𝑥 + 6\) dan \(𝑦 = −2\) yaitu titik \((-4,-2)\)
Titik \(B\) merupakan perpotongan garis \(𝑦 = −2\) dan \(𝑥 + 𝑦 = 3\) yaitu titik \((5,-2)\)
Titik \(C\) merupakan perpotongan garis \(𝑦 = 2𝑥 + 6\) dan \(𝑥 + 𝑦 = 3\) yaitu titik \((-1,4)\)
Panjang \(AB = 5 – (-4) = 9\)
Tinggi segitiga \(𝐶𝐷 = 4 − (−2) = 6\)
Jadi luas segitiga \(ABC\) adalah \(\frac{9×6}{2}= 27\) satuan luas

Untuk \(𝑎 ≥ 6\), nilai dari \(156𝑎 + 13𝑏 + 𝑐 > 873\), tidak memenuhi
Untuk \(𝑎 ≤ 4\), nilai dari \(𝑏 > 14\), kontardiksi dengan \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 14\).
kemungkinan nilai \(𝑎\) yang memenuhi adalah \(5\)
Untuk \(𝑎 = 5\), diperoleh

\(13𝑏 + 𝑐 = 93\)
\(𝑏 + 𝑐 = 9\)

Kurangkan kedua persamaan diperoleh
\(12𝑏 = 84\)
\(𝑏 = 7\)
Nilai \(𝑐\) yang memenuhi adalah \(2\)
Jadi nilai dari \(100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 100(5) + 10(7) + 2 = 572\)

Jumlahkan ketiga persamaan

\(\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑏}+\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑐}+\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑎}=\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑐}+\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑎}+\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑏}+ 20 + 14 + 𝑥\)
\(\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑏}+\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑐}+\)\(\frac{c^2}{c+a}\)\(−
\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑐}\)\(−\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑎}−\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑏}\)\(= 20 + 14 + 𝑥\)
\(\frac{𝑎^2 − 𝑏^2}{𝑎 + 𝑏}+\frac{𝑏^2 − 𝑐^2}{𝑏 + 𝑐}+\frac{𝑐^2 − 𝑎^2}{𝑐 + 𝑎}= 20 + 14 + 𝑥\)
\(\frac{(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)}{𝑎 + 𝑏}+\frac{(𝑏 − 𝑐)(𝑏 + 𝑐)}{𝑏 + 𝑐}+\frac{(𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎)}{𝑐 + 𝑎}= 20 + 14 + 𝑥\)
\(𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 − 𝑎 = 34 + 𝑥\)
\(0 = 34 + 𝑥\)
\(𝑥 = −34\)

\(\frac{𝑛^3 + 8}{𝑛^2 − 4}\)\(=\frac{𝑛^3 + 2^3}{𝑛^2 − 2^2}\)\(=\frac{(𝑛 + 2)(𝑛^2 − 2𝑛 + 4)}{(𝑛 − 2)(𝑛 + 2)}\)\(=\frac{(𝑛^2 − 2𝑛 + 4)}{(𝑛 − 2)}=\frac{𝑛(𝑛 − 2) + 4}{𝑛 − 2}= 𝑛 +\frac{4}{𝑛 − 2}\)
Agar hasilnya adalah bilangan bulat maka nilai \(\frac{4}{𝑛−2}\) harus merupakan bilangan bulat.
Nilai \(𝑛 − 2 = \{−4, −2, −1, 1, 2, 4\} ⇒ 𝑛 = −2, 0, 1, 3, 4, 6\)
Karena \(𝑛 ≠ 2\), maka nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(0, 1, 3, 4\) dan \(6\)

\([𝐴𝑅𝐵𝐶] = [𝐶𝑃𝑄] + [𝑄𝐵𝑅] + [𝑃𝐴𝑅] + [𝑃𝑄𝑅]\)
\(5(𝑥 + 12) = 𝑥 + 30 +\frac{(𝑥 + 12)3}{2}+ 27\)
\(⇒5𝑥 + 60 = 𝑥 + 57 +\frac{3}{2}𝑥 + 18\)
\(⇒𝑥 = 6\)

Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(𝑃𝑅 = \sqrt{𝐴𝑃^2 + 𝐴𝑅^2} = \sqrt{3^2 + 18^2} = \sqrt{3^2(1 + 6^2)} = 3\sqrt{37}\)

Langkah pertama : memilih 5 orang dari 10 orang. Banyak cara memilih \({10\choose 5}\)
Langkah kedua : memilih pimpinan komite yang terdiri dari 1, 2, 3, atau 4. Banyak cara
\({5\choose 1}+ {5\choose 2}+ {5\choose 3}+{5\choose 4} = 30\)
Jadi banyak cara membentuk komite adalah \(30 × {10\choose 5}= 7560\) cara

Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\((ℎ − 4 + 36)^2 = ℎ^2 + 40^2\)
\((ℎ + 32)^2 = ℎ^2 + 40^2\)
\(ℎ^2 + 64ℎ + 32^2 = ℎ^2 + 40^2\)
\(64ℎ = 40^2 − 32^2\)
\(64ℎ = 72(8)\)
\(ℎ =\frac{72(8)}{64}=9\)

Jadi tinggi segitiga adalah \(9\)

\(10𝑏 + 3𝑎 − 2𝑏 + 9 + 7𝑎 = 𝑏\)
\(10𝑏 + 3𝑎 − 2𝑏 + 9 + 7𝑎 − 𝑏 = 0\)
\(7𝑏 + 10𝑎 + 9 = 0\)

\(𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) = 2(5𝑝 + 2𝑝) = 2(7𝑝) = 14𝑝\)

banyak uang seluruhnya \(= 3(100.000)+5(50.000)=300.000 + 250.000=550.000\)
membeli sepatu \(= 150.000\)
membeli tas \(= 95.000\)
Membeli \(2\) celana \(= 2(65.000)=130.000\)
Jadi sisa uang adalah \(550.000 − 150.000 − 95.000 − 130.000 = 𝑅𝑝175.000,00\)

Banyak kubus yang diperlukan adalah \(\frac{30×27×12}{3×3×3}= 10 × 9 × 4 = 360\)

\(\frac{𝑛 + 2019}{2}= 1014 − 𝑛\)
\(⇒𝑛 + 2019 = 2(1014 − 𝑛)\)
\(⇒𝑛 + 2019 = 2028 − 2𝑛\)
\(⇒𝑛 + 2𝑛 = 2028 − 2019\)
\(⇒3𝑛 = 9\)
\(⇒𝑛 = 3\)

Luas lantai \(= 1600 × 35 × 35 = 1960000\ 𝑐𝑚^2 =\frac{1960000}{10000}= 196\ 𝑚^2\)

Luas seluruhny adalah \(6 × 6 = 36 𝑐𝑚^2\)
Luas satu kotak kecil adalah \(\frac{36}{9}= 4 𝑐𝑚^2\)
Luas daerah yang diarsir jika dijadikan satu kotak utuh terdiri dari 6 kotak.
Jadi luas daerah uang diarsir adalah \(6 × 4 = 24 𝑐𝑚^2\)

Sama saja dengan banyak botol yang digunakan yaitu
\(\frac{1000}{8}= 125\) botol
Jadi banyak pengulangan yang dilakukan Bu Ani adalah \(125\) kali

Banyak rumah yang harus dilewati adalah 22 rumah

Buat celana membutuhkan kain \(\frac{7}{8}𝑚\)
Buat jubah membutuhkan kain \(2(\frac{7}{8}) =\frac{14}{8}𝑚\).
Banyak kain yang dibutuhkan untuk membuat 2 jubah dan 1 celana adalah \(2(\frac{14}{8}) +\frac{7}{8}=\frac{28 + 7}{8}=\frac{35}{8}= 4\frac{3}{8}𝑚\)

Umur kakak sekarang adalah \(21 – 11 = 10\) tahun
Umur Amel adalah \(\frac{2}{5}× 10 = 4\) tahun.
Misalkan Usia Amel akan \(\frac{5}{6}\)
dari usia kakaknya pada \(x\) tahun lagi, dapat ditulis dalam persamaan
\(4 + 𝑥 =\frac{5}{6}(10 + 𝑥)\)
\(⇒6(4 + 𝑥) = 5(10 + 𝑥)\)
\(⇒24 + 6𝑥 = 50 + 5𝑥\)
\(⇒6𝑥 − 5𝑥 = 50 − 24\)
\(⇒𝑥 = 26\)
Jadi \(26\) tahun lagi usia Amel akan \(\frac{5}{6}\) dari usia kakaknya.

\(2205 = 3 × 3 × 5 × 7 × 7 = 9 × 49 × 5\)
\(9\) dan \(49\) adalah bilangan kuadrat jadi bilangan terkecil \(n\) yang harus dikalikan supaya menghasilkan bilangan kuadrat adalah \(n=5\)

Misalkan anak termuda berusia \(𝑎\) tahun, maka berdasarkan keterangan soal anak tertua berusia \(2𝑎\) tahun, anak ketiga berusia \(𝑎 + 3\) tahun, anak kedua berusia \(2𝑎 − 5\). Karena rataratanya adalah \(16\) tahun maka diperoleh persamaan rata-rata:
\(\frac{2𝑎 + 2𝑎 − 5 + 𝑎 + 3 + 𝑎}{4}= 16\)
\(⇒ 6𝑎 − 2 = 64\)
\(⇒ 6𝑎 = 64 + 2\)
\(⇒ 6𝑎 = 66\)
\(⇒ 𝑎 = 11\)
Jadi usia anak tertua adalah \(2𝑎 = 2(11) = 22\) tahun.

Posisi monyet sekarang adalah
= 3 𝑚 + 125 𝑐𝑚 − 17 𝑑𝑚 + 80 𝑐𝑚 − 8,5 𝑑𝑚
= 30 𝑑𝑚 + 12,5 𝑑𝑚 − 17 𝑑𝑚 + 8 𝑑𝑚 − 8,5 𝑑𝑚
= 25 𝑑𝑚

Keliling terkecil dicapai ketika sepuluh ubin dibentuk membentuk persegi panjang yang selisih panjang dan lebarnya paling minimum.

Kelilingnya adalah 14 satuan

\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 217 + 218 + 219 =\frac{219(1 + 219)}{2}=\frac{219(220)}{2}= 24.090\)

Kecepatan kelompok \(A =\frac{1}{24}\)
Kecepatan gabungan \(A\) dan \(B =\frac{1}{15}\)
Selanjutnya
\(𝐴 + 𝐵 =\frac{1}{15}\)
\(⇒\frac{1}{24}+ 𝐵 =\frac{1}{15}\)
\(⇒ 𝐵 =\frac{1}{15}−\frac{1}{24}\)\(=\frac{8 − 5}{120}\)\(=\frac{3}{120}=\frac{1}{40}\)
Jika dikerjakan oleh kelompok \(B\) maka pekerjaan akan selesai \(40\) hari.

Polanya adalah bilangan berikutnya di tambah 1, 2, 3 dan seterusnya

\(1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46\)

Jumlah dari 10 baris pertama adalah
\(1 + 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + 22 + 29 + 37 + 46 = 175\)

Hari pertama setiap pagi hari terisi 5 liter dan terpakai 4 liter, tersisa 1 liter
Hari kedua setiap pagi hari terisi 5 liter menjadi 6 liter dan terpakai 4 liter, tersisa 2 liter
Hari ketiga setiap pagi hari terisi 5 liter menjadi 7 liter dan terpakai 4 liter, tersisa 3 liter
…
Hari ke-45, tersisa 45 liter
Hari ke-46, pagi hari terisi 5 liter menjadi 50 liter pas terisi full.
Jadi pada hari ke-46 bak mandi terisi full

Ambil perwakilan gambar

Jari-jari setengah lingkaran besar adalah \(=\frac{𝐴𝐶}{2}=\frac{14+28}{2}=\frac{42}{2}= 21\) 𝑐𝑚
Jari-jari setengah lingkaran kecil adalah \(=\frac{𝐵𝐶}{2}=\frac{28}{2}= 14\) 𝑐𝑚
Luas daerah berwarna hitam = Luas ½ lingkaran besar – Luas ½ lingkaran kecil
\(=\frac{1}{2}𝜋(21)^2 −\frac{1}{2}𝜋(14)^2\)
\(=\frac{1}{2}(\frac{22}{7})(21)^2 −\frac{1}{2}(\frac{22}{7})(14)^2\)
\(= 11(3)(21) − 11(2)(14)\)
\(= 11(3)(21) − 11(2)(14)\)
\(= 693 − 308\)
\(= 385\) 𝑐𝑚²
Karena luas daerah hitam sebanyak 6 maka Luas semua daerah arsiran adalah \(385(6) = 2310\; 𝑐𝑚^2\)

Misalkan:
\(0,111 … = 𝑥\)
\(1,111 … = 10𝑥\)
___________________ −
\(1 = 9𝑥\)
\(𝑥 =\frac{1}{9}\)

Jadi \(0,111 … =\frac{1}{9}\)

Karena hasilnya angka satuannya adalalah maka hasil kali 7 dan B juga angka satuannya adalah 3, nilai B yang memenuhi adalah 9. Dengan melakukan percobaan diperoleh nilai A yang memenuhi adalah 3. Jadi nilai A+B=3+9=12

dari gambar panjang sisi persegi sama dengan jari-jari lingkaran yaitu \(r\)

Luas daerah yang diaarsir adalah luas seperempat lingkaran

\(\frac{1}{4}𝜋𝑟^2 = 𝜋\)
\(\frac{1}{4}𝑟^2 = 1\)
\(𝑟^2 = 4\)

\(\begin{align}
\text{Luas bangun adalah} &= \text{Luas tigaperempat lingkaran + luas [IFGH]}\\
&=\frac{3}{4}πr^2 + r^2\\
&=\frac{3}{4}π(4)+4\\
&=3π+4\\
\end{align}\)

\(𝑎 + 𝑏 = 19\)
\(𝑎 − 𝑏 = 5\)
__________________ +
\(2𝑎 = 24\)
\(𝑎 = 12\)
Karena \(𝑎 = 12\) maka \(𝑏 = 7\)
Jadi hasil kali kedua bilangannya adalah \(84\)

2017 𝑚𝑜𝑑 7 = 1

Jadi 2017 hari yang akan datang adalah 1 hari setelah hari selasa yaitu hari rabu

misalkan banyak putaran pada roda besar adalah \(n\)

\(\text{Panjang lintasan roda kecil = Panjang lintasan roda besar}\)
\(2𝜋𝑟(60) = 2𝜋𝑅(𝑛)\)
\(1(60) = 5𝑛\)
\(𝑛 =\frac{60}{5}=12\)

\(\begin{align}
(1 −\frac{1}{3})(1 −\frac{1}{4})(1 −\frac{1}{5})(1 −\frac{1}{6})&=(\frac{3}{3} −\frac{1}{3})(\frac{4}{4} −\frac{1}{4})(\frac{5}{5} −\frac{1}{5})(\frac{6}{6} −\frac{1}{6})\\
&=(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})\\
&=\frac{2}{6}\\
&=\frac{1}{3}\\
\end{align}\)

Misalkan:
M : Modal awal , moda dalam persen adalah \(100\%\)
Dalam persen, harga jual supaya untung \(60\%\) adalah \(160\%\)
dengan menggunakan perbandingan :

\(\frac{𝑀}{24000}=\frac{100}{160}\)

\(⇒ 𝑀 =\frac{100(24000)}{160}= 15000\)

Modal \(15.000\), harga jual \(18.000\), keuntungan \(3.000\)

Persentasi keuntungan : \(\frac{3000}{15000}× 100\% = 20\%\)

Jadi besar keuntungan adalah \(20\%\)

Berdasarkan keterangan soal , 3 dewasa kapasitasnya sama dengan 4 anak-anak. Apabila sudah terisi 12 dewasa maka ada kapasitas 6 dewasa lagi yang bisa naik dikapal, tapi karena yang ditanyakan berapa anak lagi maka 6 dewasa sama saja dengan 8 anak. Jadi berapa anak lagi paling banyak yang bisa ikut berangkat menaiki kapal adalah 8 anak.

Jumlah sudut segitiga sama dengan 180°
Jadi besar sudut 𝐶𝐴𝐷 = 180 − 48 − 29 − 43 = 60°

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Senin&Selasa&Rabu&Kamis&Jumat&Sabtu&Minggu\\
\hline
&1&&&&&\\
\hline
&8&&&&&\\
\hline
&15&&&&&20\\
\hline
21&22&&&&&\\
\hline
&29&&&&&\\
\hline
\end{array}\)

Ketika tanggal 1 hari selasa maka terlihat bahwa tanggal ganjil ada 3 yaitu tanggal 1, 15 dan 29. Jadi tanggal 20 jatuhnya di hari minggu

\(\begin{align}
\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{2}{3+\frac{1}{2}}}}&=\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{2}{\frac{7}{2}}}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{4}{7}}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{2}{\frac{18}{7}}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{14}{18}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{7}{9}}\\
&=\frac{1}{\frac{16}{9}}\\
&=\frac{9}{16}\\
\end{align}\)

Perhatikan daerah arsiran bagian lingkaran tengah atas, jika bagian tersebut dipindahkan ke lingkaran tengah bawah maka membentuk satu arsiran lingkaran utuh, demikian juga daerah arsiran bagian lingkaran kanan atas, apabila dipindahkan ke bagian lingkaran kiri bawah maka akan membentuk arsiran satu lingkaran. Jadi luas lingkaran yang diarsir sama dengan 2 kali luas lingkaran yang berjari-jari 5 cm

\(𝐿 = 2𝜋𝑟^2 = 2(3,14)(5)^2 = 50(3,14) = 157\; 𝑐𝑚^2\)

Jelas jawaban B

Banyak segitiga arsiran adalah \(1\)
Banyak segitiga seluruhnya adalah \(18\)
Luas daerah yang diarsir : \(\frac{1}{18}\)

Polanya adalah penjumlahan tiga bilangan sebelumnya, jadi nilai \(𝐴\) adalah

\(𝐴 = 6 + 11 + 20 = 37\)

Nilai 𝐶 = 15 × 3 = 45
Nilai 𝑋 = 45 ÷ 5 = 9

Banyak kandang 20 kandang, 1 kandang berisi 2 ayam dan 19 kandang berisi 6 ayam. Jadi banyak ayam yang dimiliki pak Ali adalah 19 × 6 + 1 × 2 = 114 + 2 = 116 ayam

Kecapatan Caca 30km/jam
Kecepatan Cici 50 km/jam
Mereka berangkat dari kota A, karena Caca berangkat lebih dulu 2 jam dari pada Cici maka Cici baru berangkat saat Caca sudah menempuh jarak 60 km dari kota A .
Misalkan jarak tempuh ketika mereka berpapasan dari kota A adalah 𝑆.
Jarak tempuh S dengan menggunakan kecepatan Caca adalah 60 + 30𝑡
Jarak tempuh S dengan menggunakan kecepatan Cici adalah 50(𝑡 − 2)
𝑡 merupakan waktu tempuh Caca untuk keduanya berpapasan, karna ada rentang 2 jam Cici tidak melakukan perjalanan maka waktu tempuhnya berkurang 2 jam yaitu 𝑡 − 2.
Samakan persamaan jarak yang ditempuh Cici dan Caca

\(𝑆 = 𝑆\)
\(60 + 30𝑡 = 50(𝑡 − 2)\)
\(60 + 30𝑡 = 50𝑡 − 100\)
\(50𝑡 − 30𝑡 = 60 + 100\)
\(50𝑡 − 30𝑡 = 60 + 100\)
\(20𝑡 = 160\)
\(𝑡 = 8\; 𝑗𝑎𝑚\)

Jadi mereka berpapasan 8 jam setelah pukul 10.00 yaitu pukul 18.00 WIB

\(103^8 mod\; 10=3^8\; mod\;10=3^4.3^4\;mod\;10=81.81\;mod\;10=1\)

Diketahui:
Rata-rata murid laki-laki sebelum remedial= \(78\)
Rata murid perempuan sebelum remedial = \(P\)
Rata-rata kelas = \(x=80\)
Ditanyakan berapa nilai \(P?\)

Dengan menggunakan rumus mencari rata-rata

\(\overline{x}=\frac{12(78)+16P}{12+16}=80\)

\(⇒\frac{936+16P}{28}=80\)

\(⇒936+16P=2240\)

\(⇒16P=2240-936=1304\)

\(⇒P=\frac{1304}{16}=81,5\)

Jadi nilai rata-rata murid perempuan adalah 81,5

Jawaban : C

1. Apabila nilai remedial tidak masukan maka rata-ratanya misalkan \(A\)

\(A=\frac{28(80)-(52+56+62+66)}{28-4}=\frac{2240-(236)}{24}=\frac{2004}{24}=83,5\)

Pernyataan 1: benar

2. Rata-rata murid yang ikut remedial misalkan dengan B

\(B=\frac{52+56+62+66}{4}=\frac{236}{4}=59\)

Pernyataan 2 : salah

3. Rata-rata peserta remedial setelah remedial naik 7 poin menjadi 59+7=66. Rata-rata murid setelah remedial misalkan C

\(C=\frac{24(83,5)+4(66)}{28}=\frac{2004+264}{28}=\frac{2268}{28}=81\)

Pernyataan 3 : benar

4. Jangkauan murid yang mengikuti remedial adalah \(66-52=14\)

Pernyataan 4 : salah 

Jadi pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3)

Jawaban : B

Akan dipilih pengurus inti yang terdiri dari 5 murid

Pernyataan 1 : Banyaknya cara memilih sehingga semua pengurus inti merupakan murid perempuan adalah 4.368.
Bukti :
\({16\choose 5}=\frac{16!}{5!·11!}=\frac{16·15·14·13·12·11!}{5!·11!}=\frac{16·15·14·13·12}{5·4·3·2·1}=4368\) cara
Pernyataan 1 : Benar

Pernyataan 2 : Banyaknya cara memilih sehingga semua pengurus inti merupakan murid laki-laki adalah 495.
Bukti :
\({12\choose 5}=\frac{12!}{7!·5!}=\frac{12·11·10·9·8·7!}{7!·5!}=\frac{12·11·10·9·8}{5·4·3·2·1}=792\) cara
Pernyataan 2 : Salah

Pernyataan 3 : Banyaknya cara memilih sehingga terdapat tepat 2 murid laki-laki sebagai pengurus inti adalah 36.960.
Bukti :
sama halnya dengan memilih 3 perempuan dan 2 laki-laki, banyak cara adalah  
\({12\choose 2}{16\choose 3}=\left(\frac{12!}{10!·2!}\right)\left(\frac{16!}{13!·3!}\right)=\left(\frac{12·11·10!}{10!·2!}\right)\left(\frac{16·15·14·13!}{13!·3!}\right)=\left(\frac{12·11}{2}\right)\left(\frac{16·15·14}{6}\right)=(66)(560)=36960\) cara
Pernyataan 3 : Benar

Banyak cara memililih pengurus inti terdiri dari 1 laki-laki dan 4 perempuan adalah
\({12\choose 1}{16\choose 4}=\left(\frac{12!}{11!·1!}\right)\left(\frac{16!}{12!·4!}\right)=\left(\frac{12·11!}{11!·1!}\right)\left(\frac{16·15·14·13·12!}{12!·4!}\right)=\left(\frac{12}{1}\right)\left(\frac{16·15·14·13}{24}\right)=(12)(1820)=21.840\) cara

Banyak cara memililih pengurus inti terdiri dari 2 laki-laki dan 3 perempuan adalah
\({12\choose 2}{16\choose 3}=\left(\frac{12!}{10!·2!}\right)\left(\frac{16!}{13!·3!}\right)=\left(\frac{12·11·10!}{10!·2!}\right)\left(\frac{16·15·14·13!}{13!·3!}\right)=\left(\frac{12·11}{2}\right)\left(\frac{16·15·14}{6}\right)=(66)(560)=36.960\) cara

Banyak cara memilih 5 murid dari 28 murid adalah 
\({28\choose 5}=\frac{28!}{23!·5!}=\frac{28·27·26·25·24·23!}{23!·5!}=\frac{28·27·26·25·24}{5·4·3·2·1}=98.280\) cara

Jadi peluang terpilihnya 1 atau 2 murid laki-laki adalah 

\(\frac{21.840+36.960}{98.280}=\frac{58.800}{98.280}=\frac{70}{117}\)

Berdasarkan gambar, daerah merumput kambing akan maksimal jika posisi P tepat di tengah tengah garis AB

terlihat bahwa nilai \(t=x\) atau \(t=12-x⇒x=12-t\), karena \(0<t<6\) maka kemungkinan batasan nilai x yang memenuhi adalah \(t≤x≤12-t\)

Jawaban : E

misalkan panjang maksimal tali kambing kedua agar kedua kambing tidak berebut rumput adalah \(s\). Pada gambar di atas terlihat bahwa daerah warna abu-abu adalah wilayah rumput yang bisa dimakan kambing pertama sedangkan warna biru adalah wilayah rumput yang bisa dimakan kambing kedua. 

Diketahui Panjang PB = 12 – 3 = 9 meter dan panjang BQ = 6 meter.
perhatikan segitiga siku-siku PBQ. Dengan menggunakan rumus pythagoras

\(PQ^2 = PB^2 + BQ^2\)
\(⇒(s+t)^2 = 9^2 + 6^2\) 
\(⇒(s+t)^2 = 81 + 36\) 
\(⇒(s+t)^2 = 117\) 
\(⇒s+t=\sqrt{117}\)
\(⇒s=\sqrt{117}-t\)

karena nilai \(t ≤ 9\), maka jelas bahwa nilai \(s\) nilainya tidak lebih dari \(\sqrt{117}-t\)

Jawaban : B

warna biru adalah daerah yang dapat dilalui oleh kambing pertama dimana 6 ≤ t ≤ 9, warna hijau adalah daerah yang dapat dilalui kambing kedua, misalkan panjang tali kedua adalah s, panjang s bergantung dari panjang t.

Berdasarkan rumus pythagoras pada segitiga ABC

\(AC^2=AB^2+BC^2=12^2+9^2=144+81=225\)
\(⇒AC=\sqrt{225}=15\)
\(AC = s+t=15\)

Luas daerah  keduanya minimum jika nilai \(s=t\), karena \(s+t=15\) maka panjang \(t\) yang memenuhi adalah 7,5 meter.

Banyaknya pertandingan adalah
\({20\choose 2}×2=\frac{20!}{18!·2!} ×2=\frac{20·19·18!}{18!·2!}×2=\frac{380}{2}×2=380\) pertandingan

Jawaban : C

Ada \(20\) tim dan total pertandingan ada \(380\), masing-masing tim bertanding sebanyak \(38\) kali.

• Napoli sudah bertanding sebanyak \(32\) dengan  \(29\) menang , \(1\) imbang, \(2\) kalah. Total poin yang diperoleh \(29 × 3 + 1×1 = 87 + 1 = 88\) poin. Masih menyisakan \(6\) pertandingan.
• Atalanta sudah bertanding sebanyak \(32\) dengan \(24\) menang, \(2\) imbang dan \(6\) kalah. Total poin yang diperoleh \(24 × 3 + 2 × 1 = 72 + 2 = 74\) poin. Masih menyisakan \(6\) pertandingan
• AC Milan sudah bertanding sebanyak \(31\) dengan \(23\) menang, \(5\) imbang dan \(3\) kalah. Total poin yang diperoleh \(23 × 3 + 5 × 1 = 69 + 5 = 74\) poin. Masih menyisahkan \(7\) pertandingan.

Dari keterangan di atas. Rival terdekat Napoli adalah Atalanta dan AC Milan, akan tetapi AC Milan masih menyisahkan \(7\) pertandingan. Andaikan dari \(7\) pertandingan tersisa AC Milan berhasil memenangkan pertandingan maka poin maksimal yang dapat diperoleh AC Milan adalah \(74 + 7×3 = 74 + 21 = 95\). Dari petunjuk ini maka Napoli harus membutuhkan minimal poin akhir sebesar \(96\) poin untuk memastikan juara. Jadi poin minimal yang dibutuhkan Napoli untuk memastikan juara adalah \(96 – 88 = 8\) poin.

Jawaban : C

Beberapa bagian yang tidak dijelaskan di sini, sudah dijelaskan di soal sebelumnya

Atalanta masih tersisa 6 pertandingan. Jika 2 menang dan 4 imbang maka tambahan poin adalah \(2×3+4×1=6+4=10\) poin. Jadi poin Akhir 84 poin. 

AC Milan masih ada 7 pertandingan, AC Milan berhasil  menempati urutan kedua jika poin akhir yang di peroleh diantara 84 dan 88. Kemungkinan buruk walaupun Napoli kalah di sisa pertandingan tetapi tetap juara 1.

(1) 3 – 3 – 1 , tambahan poin \(3×3+3×1=9+3=12\) Poin. Kemungkinan Poin Akhir \(74 + 12 = 86\)

(2) 3 – 2 – 2 , tambahan poin \(3×3+2×1=9+2=11\) Poin. Kemungkinan Poin Akhir \(74 + 11 = 85\)

(3) 3 – 4 – 0 , tambahan poin \(3×3+4×1=9+4=13\) Poin. Kemungkinan Poin Akhir \(74 + 13 = 87\)

(4) 3 – 0 – 4 , tambahan poin \(3×3=9\) Poin. Kemungkinan Poin Akhir \(74 + 9 = 81\)

Poin akhir yang memenuhi syarat menjadi juara dua ada di poin (1), (2) dan (3)

Jawaban : A

B

A

\(3,605\)

\(1\frac{1}{5}\)

\(1,71\)

C

\(4 : 5\)

\(45\)

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia