Soal Lomba Matematika MCR tingkat SMP

Misalkan \(201.220.112.010=𝑥\) dan \(201.020.112.012=𝑦\), maka

\(\frac{(201.220.112.010-201.020.112.012)^2-(201.020.112.013+201.220.112.011)^2}{(201.220.112.010\times 201.020.112.012)+(201.220.112.010+201.020.112.012+1)}\)

\(=\frac{(𝑥−𝑦)^2−(𝑦+1+𝑥+1)^2}{𝑥𝑦+𝑥+𝑦+1}\)

\(=\frac{(𝑥−𝑦+𝑦+1+𝑥+1)(𝑥−𝑦−𝑦−1−𝑥−1)}{𝑥𝑦+𝑥+𝑦+1}\)

\(=\frac{(2𝑥+2)(−2𝑦−2)}{𝑥𝑦+𝑥+𝑦+1}\)

\(=\frac{−4(𝑥+1)(𝑦+1)}{(𝑥+1)(𝑦+1)} =−4\)

Misalkan \(\sqrt{2050}+\sqrt{1900}=𝑏\)
Kalikan kedua persamaan
\((\sqrt{2050}+\sqrt{1900})(\sqrt{2050}-\sqrt{1900})=30a𝑏\)
\(⟹2050−1900=30𝑎𝑏\)
\(⟹150=30𝑎𝑏\)
\(⟹𝑏=\frac{150}{30𝑎}=\frac{5}{𝑎}\)

Jadi nilai dari \(\sqrt{2050}+\sqrt{1900}\) dalam \(𝑎\) adalah \(\frac{5}{𝑎}\)

\(\begin{align}
9999998\times 123456789 &=(10000000−2)\times 123456789\\
&=1.234.567.890.000.000−246.913.578\\
&= 1.234.567.643.086.422
\end{align}\)

Jumlah semua digitnya adalah \(1+2+3+4+5+6+7+6+4+3+0+8+6+4+2+2 =63\)

karena \(𝐴𝐶^2=𝐴𝐵^2+𝐵𝐶^2\) maka segitiga \(ABC\) adalah segitiga siku-siku dengan \(a\) dan \(c\) adalah alas dan tinggi segitiga.

\(𝐴𝐶^2=𝐴𝐵^2+𝐵𝐶^2⟹𝑏^2=𝑐^2+𝑎^2⟹𝑐^2+𝑎^2−𝑏^2=0\) …(1)
selanjutnya
\((𝑎+𝑏+𝑐)^2=(5+\sqrt 5)^2\)
\(𝑎^2+𝑏^2+𝑐^2+2(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐)=25+10\sqrt 5+5=30+10\sqrt 5\)
\(𝑎^2+𝑏^2+𝑐^2+2(5\sqrt 5+6)=30+10\sqrt 5\)
\(𝑎^2+𝑏^2+𝑐^2+10\sqrt 2+12=30+10\sqrt 5\)
\(𝑎^2+𝑏^2+𝑐^2=18\) …(2)
Kurangkan pers(2) dan (1) diperoleh,
\(2𝑏^2=18⟹𝑏=3\)
Subtitusi \(b\) ke persamaan \(𝑎+𝑏+𝑐=5+\sqrt 5\), diperoleh
\(𝑎+3+𝑐=5+\sqrt 5⟹𝑎+𝑐=2+\sqrt 5\)
Subtitusi \(b\) ke persamaan \(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐=5\sqrt 5+6\), diperoleh
\(3𝑎+3𝑐+𝑎𝑐=5\sqrt 5+6\)
\( 3(𝑎+𝑐)+𝑎𝑐=5\sqrt 5+6\)
\( 3(2+\sqrt 5)+𝑎𝑐=5\sqrt 5+6\)
\( 6+3\sqrt 5 + 𝑎𝑐=5\sqrt 5+6\)
\( 𝑎𝑐=2\sqrt 5\)
Jadi luas segitiga \(ABC\) adalah \(\frac{1}{2}𝑎𝑐=\frac{1}{2}(2\sqrt 5)=\sqrt 5\)