Soal Lomba Matematika SMP PEMNAS UB

\(𝑥^2+2𝑦^2=40\) (kuadratkan kedua ruas)
\(⟹(𝑥^2+2𝑦^2)^2=40^2\)
\(⟹𝑥^4+4𝑦^4+4(𝑥𝑦)^2=1600\)
\(⟹816+4(𝑥𝑦)^2=1600\)
\(⟹4(𝑥𝑦)^2=1600−816=784\)
\(⟹(𝑥𝑦)^2=196\)
\(⟹𝑥𝑦=\sqrt{196}=14\)
Jadi nilai dari \(7𝑥𝑦 = 7(14) =98\)

\(\begin{align}
4x^4-12x^2+1234769 & = 4x^2(x^2-x-1)+4x^3-8x^2+1234769\\
&=4x^3-8x^2+1234769\\
&=4x(x^2-x-1)-4x^2+4x+1234769\\
&=-4(x^2-x)+1234769\\
&=-4(1)+1234769\\
&=1234765
\end{align}\)

Tiga anggota yang jumlahnya genap, kemungkinan sususunannya adalah tiga genap atau satu genap dan dua ganjil.
• Kemungkinan ketiga genap adalah \({88, 142, 178}\) ada \(1\) himpunan
• Kemungkinan satu genap dan \(2\) ganjil banyak cara \(3 \choose 1\)\(3 \choose 2\)\(=3(3)=9\)
Banyak kemungkina \(3\) anggota berjumlah genap adalah \(1 + 9 = 10\)
Jadi peluangnya adalah \(\frac{10}{2^6}=\frac{10}{64}=\frac{5}{32}\)

\(2024^{2005^{2006^{…^{2016^{…^{10000^{…^{\overline{𝑝𝑒𝑚𝑛𝑎𝑠}}}}}}}}}\)

Karena yang dicari angka satuan maka pangkatnya modulo \(4\)
\(2005^{2006^{…^{2016^{…^{10000^{…^{\overline{𝑝𝑒𝑚𝑛𝑎𝑠}}}}}}}}\) mod \(4=1^{2006^{…^{2016^{…^{10000^{…^{\overline{𝑝𝑒𝑚𝑛𝑎𝑠}}}}}}}}\) mod \(4=1\)
jadi

\(2024^{2005^{2006^{…^{2016^{…^{10000^{…^{\overline{𝑝𝑒𝑚𝑛𝑎𝑠}}}}}}}} mod\;4} mod\;10=4^1\;mod\;10=4\) 

Jadi digit terakhirnya adalah \(4\)

Samakan nilai luas mengunakan rumus \(\frac{1}{2}at\) dengan luas menggunakan rumus heron.
\(\frac{1}{2}(24)𝑡=\sqrt{28(28−12)(28−20)(28−24)}\)
\(12𝑡=\sqrt{28(16)(8)(4)}\)
\( 12𝑡=4.2.2.2\sqrt {7.(2)}=32\sqrt {14}\)
\(𝑡=\frac{8}{3}\sqrt{14}\)
Selanjutnya cari nilai \(𝑎\) dengan rumus Pythagoras:
\(𝑎=\sqrt{12^2−(\frac{8}{3}\sqrt{14})^2}\)
\(=\sqrt{144−\frac{896}{9}}=\sqrt{\frac{400}{9}}=\frac{20}{3}\)
nilai \(𝑏\), yaitu \(𝑏=15−𝑎=15−\frac{20}{3}=\frac{25}{3}\)
Menggunakan rumus Pythagoras untuk mencari nilai \(x\)
\(𝑥=\sqrt{𝑡^2+𝑏^2}=\sqrt{\frac{896}{9}+\frac{625}{9}}=\sqrt{\frac{1521}{9}}=\sqrt{169}=13\)

\(\sqrt{11 − 𝑥} + \sqrt{6 + 𝑥} = 5\) kuadratkan kedua ruas
\(⇒ 11 − 𝑥 + 6 + 𝑥 + 2\sqrt{(11 − 𝑥)(6 + 𝑥)} = 25\)
\(⇒ 17 + 2√(11 − 𝑥)(6 + 𝑥) = 25\)
\(⇒ 2\sqrt{(11 − 𝑥)(6 + 𝑥) = 8}\)
\(⇒ \sqrt{(11 − 𝑥)(6 + 𝑥) = 4}\)

Misalkan akar-akarnya adalah \(𝑥_1\) dan \(𝑥_2\) , berdasarkan dalil vieta
\(𝑥_1 + 𝑥_2 = 𝑝\) dan \(𝑥_1𝑥_2 = 𝑞\)
Karena \(𝑞\) adalah bilangan prima maka salah satu dari \(𝑥_1\) atau \(𝑥_2\) bernilai \(1\), pilih \(𝑥_1 = 1\), maka \(𝑥_2 = 𝑞\), kemudian subtitusi ke \(𝑥_1 + 𝑥_2 = 𝑝\), diperoleh \(1 + 𝑞 = 𝑝 ⟹ 𝑝 − 𝑞 = 1\),
karena \(p\) dan \(q\) bilangan prima maka nilai \(p\) dan \(q\) yang memenuhi adalah \(3\) dan \(2\)

\(3𝑎(3𝑎 + 1) = 𝑏(𝑏 + 2)\)
\(⇒ 9𝑎^2 + 3𝑎 = 𝑏^2 + 2𝑏\) kalikan kedua ruas dengan 4
\(⇒ 36𝑎^2 + 12𝑎 = 4𝑏^2 + 8𝑏\)
\(⇒ (6𝑎 + 1)^2 − 1 = (2𝑏 + 2)^2 − 4\)
\(⇒ (2𝑏 + 2)^2 − (6𝑎 + 1)^2 = 3\)
\(⇒ (2𝑏 + 2 + 6𝑎 + 1)(2𝑏 + 2 − 6𝑎 − 1) = 3\)
Karena \(a\) dan \(b\) bilangan asli maka \(2𝑏 + 2 + 6𝑎 + 1 > 2𝑏 + 2 − 6𝑎 − 1\) diperoleh persamaan
\(2𝑏 + 2 + 6𝑎 + 1 = 3\)
\(2𝑏 + 2 − 6𝑎 − 1 = 1\)
_____________________________ +
\(4𝑏 + 4 = 4 ⟹ 𝑏 = 0\) tidak memenuhi, Jadi tidak mempunyai solusi.

Sisipkan \(n\) bilangan diantara \(3\) dan \(2019\), diperoleh barisan aritmetika:
\(3, 𝑥_1, 𝑥_2, 𝑥_3, … , 𝑥_𝑛, 2019\)
Banyak bilangan adalah \(=\frac{2019−3}{126}+ 1 = 16 + 1 = 17\)
Jadi jumlah semua bilangan adalah \(\frac{(2019+3)17}{2}= 17187\)