KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMA

semua pembagi positif dari \(72\) sama dengan semua factor dari \(72\) yaitu, \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}\)
Hasil kali semua factor adalah
\(1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 9 × 12 × 18 × 24 × 36 × 72 = 72^𝑏\)
\(⇒(1 × 72) × (2 × 36) × (3 × 24) × (4 × 18) × (6 × 12) × (8 × 9) = 72^𝑏\)
\(72 × 72 × 72 × 72 × 72 × 72 = 72^6 = 72^𝑏\)
Jadi nilai \(b\) nya adalah \(6\)

Untuk \(𝑛 ≥ 5\), maka \((5!)^3 = (120)^3\; mod\; 1000 ≡ 0/\), karena untuk \(𝑛 ≥ 5\) nilai dari \((𝑛!)^3\; mod\; 1000≡ 0\) , maka
\([(1!)^3 + (2!)^3 + ⋯ + (2018!)^3]\; 𝑚𝑜𝑑\; 1000\)
\(≡ [(1!)^3 + (2!)^3 + (3!)^3 + (4!)^3]\;𝑚𝑜𝑑\; 1000\)
\(≡ 14049\; 𝑚𝑜𝑑\; 1000\)
\(≡ 049\;\)
𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ \(\overline{abc}= 049\), jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 + 4 + 9\) adalah \(13\)

Misalkan \(𝑝(𝑥) = 𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐\)
\(𝑝(𝑝(𝑥)) = 𝑥^4 + 4𝑥^3 + 8𝑥^2 + 8𝑥 + 4\)
\((𝑝(𝑥))^2 + 𝑏(𝑝(𝑥)) + 𝑐 = 𝑥^4 + 4𝑥^3 + 8𝑥^2 + 8𝑥 + 4\)
\((𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑏(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑐 = 𝑥^4 + 4𝑥^3 + 8𝑥^2 + 8𝑥 + 4\)
\((𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑏(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑐 = 𝑥^4 + 4𝑥^3 + 8𝑥^2 + 8𝑥 + 4\)
\(𝑥^4 + 𝑏𝑥^3 + 𝑐𝑥^2 + 𝑏𝑥^3 + 𝑏𝑥^2 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑐𝑥^2 + 𝑐𝑏𝑥 + 𝑐^2 + 𝑏(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑐 = 𝑥^4 + 4𝑥^3 + 8𝑥^2 + 8𝑥 + 4\)
Samakan Koefisien \(𝑥^3\) ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh \(2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2\).
Selanjutnya cari nilai \(c\) dengan menyamakan koefisien \(x\) ruas kiri dan kanan, diperoleh
\(2𝑏𝑐 + 𝑏^2 = 8 ⟹ 4𝑐 + 4 = 8 ⟹ 4𝑐 = 4 ⟹ 𝑐 = 1\)
Akibatnya \(𝑝(𝑥) = 𝑥^2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)^2\)
nilai dari
\(\sum_{i=1}^{29} p(i) =\sum_{i=1}^{29}(𝑖 + 1)^2\)
\(= 2^2 + 3^2 + 4^2 + ⋯ + 30^2\)
\(= 1^2 + 2^2 + 3^2 + ⋯ + 30^2 − 1 = (\frac{30(31)(61)}{6}) − 1 = 9455 − 1 = 9452\)

\(r\) dan \(s\) adalah solusi persamaan \(𝑥^2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0\), maka berdasarkan dalil vieta \(𝑟 + 𝑠 = −𝑝\) dan \(𝑟𝑠 = 𝑞\)
\(𝑝\) dan \(𝑞\) adalah solusi persamaan \(𝑥^2 + 𝑟𝑥 + 𝑠 = 0\), maka berdasrkan dalil vieta \(𝑝 + 𝑞 = −𝑟\) dan \(𝑝𝑞 = 𝑠\), jadi
\(𝑟 + 𝑠 = −𝑝 ⟹ 𝑠 = −𝑝 − 𝑟 = −𝑝 + (𝑝 + 𝑞) ⟹ 𝑠 = 𝑞\)
Subtitusi \(𝑠 = 𝑞\) ke \(𝑟𝑠 = 𝑞 ⟹ 𝑟𝑞 = 𝑞 ⟹ 𝑟 = 1\) dan subtitusi \(𝑠 = 𝑞\) ke \(𝑝𝑞 = 𝑠 ⟹ 𝑝𝑠 = 𝑠 ⟹ 𝑝 = 1\),
selanjutnya nilai \(𝑠 = 𝑞 = −𝑝 − 𝑟 = −1 − 1 = −2\)
Jadi diperoleh bilai dari \(𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 = 1 − 2 + 1 − 2 = −2\)

Karena \(\sqrt{41^2 − 40^2 = 9}\) maka segitiga \(ABC\) adalah segitiga siku-siku

Karena \(C\) siku-siku dan \(Δ𝐶𝐷𝐸\) segitiga dalam lingkran maka \(𝐸𝐷\) adalah diameter.
Karena \(Δ𝐶𝐷𝐸\) dan \(Δ𝐴𝐵𝐶\) sebangun maka
\(\frac{𝐸𝐷}{𝐴𝐵}=\frac{𝐶𝐸}{𝐵𝐶}⇒ 𝐸𝐷 =\frac{1}{2}(41) = 20,5\)
Jadi jari-jari lingkaran adalah \(\frac{20,5}{2}= 10,25\)