---

1. Find the value of

\(100 − 98 + 96 − 94 + ⋯+ 8 − 6 + 4 – 2\)

---

Solution

---

2. Nilai \(x\) dari persamaan

\([(\sqrt{1 + \sqrt{𝑥 − 3}} + 4) ×\frac{1}{3}] ÷\frac{1}{5}= 10\)

adalah …

---

Solution

---

3. Sebanyak 60% dari banyak siswa di suatu sekolah adalah perempuan. Sedangkan 60% dari banyak siswa perempuan dan 50% dari banyak siswa laki-laki di sekolah itu berasal dari Propinsi Jawa Timur. Berapa persen banyak siswa yang berasal dari luar Propinsi Jawa Timur?

---

Solution

---

4. Perhatikan gambar!

Titik \(O\) merupakan titik potong diagonal \(AC\) dan diagonal \(BD\). Besarnya sudut \(BOC\) adalah \(70°\). Jika segitiga \(POQ\) adalah segitiga samasisi maka besarnya sudut \(OAP\)

---

Solution

---

5. Sebuah truk pengantaran melaju dari kota A menuju kota B dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Kemudian, truk tersebut kembali dengan kecepatan 60 km/jam. Waktu keseluruhan yang diperlukan adalah 15 jam. Berapakah jarak antara kota A dan kota B?

---

Solution

---

6. The average of \(x\) and \(y\) is \(19\). The average of \(a, b\) and \(c\) is \(14\). Find the average of \(x, y, a, b\) and \(c\)

---

Solution

---

7. Tentukan jumlah semua factor prima dari 159999.

---

Solution

---

8. In ΔABC, points D,E and F are midpoints of CE,AF and BD respectively. It is known the area of ΔABC is 56 cm2. Find the area of ΔDEF.

---

Solution

---

9. Nilai rata-rata dari bilangan-bilangan \(2, 1\frac{1}{2}
, 3, x, 3\frac{7}{8}, 4\frac{1}{8}, 6\frac{1}{2}, 5, 4,\) dan \(𝑦\) adalah \(3,9\). Jika selisih
\(x\) dan \(y\) adalah \(2\frac{1}{2}\) dan \(x < y\), maka nilai \(y = …\)

---

Solution

---

10. Seorang pedagang membeli 1 karung gula putih dengan bruto 100 kg dan tara 2% dengan harga Rp 294.000,00. Jika gula itu dijual secara eceran dan mendapat untung 20%, maka harga penjualan gula tiap kg adalah ….

---

Solution

---

11. Empat orang \(A, B, C,\) dan \(D\) bersama-sama mengumpulkan uang sebanyak \(Rp 900.000,00. A\) menerima \(\frac{1}{2}\) bagian dari total uang yang diterima \(B, C,\) dan \(D. B\) menerima \(\frac{2}{3}\) bagian dari total uang yang diterima oleh \(C\) dan \(D. C\) menerima \(3\) kali lebih banyak dari yang diterima \(D\). Berapa banyak uang yang diterima oleh \(D\)?

---

Solution

---

12. Jika \(25^𝑥 + 25^𝑥 + 25^𝑥 + 25^𝑥 + 25^𝑥 = 5^{2023}\) . Carilah nilai \(x\)

---

Solution

---

13. Sebuah balok dengan ukuran panjang = \(1\frac{1}{3}\) lebarnya, dan panjang \(= 2\) x tinggi. Jika volume balok tersebut \(5.184\) cm³, maka luas permukaan balok tersebut adalah … cm²

---

Solution

---

14. Perhatikan gambar!

Jika luas daerah arsiran adalah 12 cm² , maka tentukan luas segi delapan beraturan?

---

Solution

---

15. Berapa banyak bilangan dua digit dimana bilangan tersebut sama dengan 7 kali jumlah kedua digitnya?

---

Solution

---

16. Sederhanakan bentuk di bawah ini!

\(\frac{(1 −\frac{1}{2^2})(1 −\frac{1}{3^2})(1 −\frac{1}{4^2}) … (1 −\frac{1}{2023^2})}{(1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{3})(1 −\frac{1}{4}) … (1 −\frac{1}{2023^2})}\)

---

Solution

---

17. Di dalam rumah hewan terdapat ikan, burung dan kucing. Jika jumlah kepala seluruhnya ada 15 dan jumlah kaki ada 14, Jika banyak ikan adalah bilangan genap maka tentukan banyaknya ikan di rumah tersebut.

---

Solution

---

18. Pipa A dapat mengisi sebuah ember hingga penuh dalam waktu 50 detik. Pipa B dapat melakukan hal yang sama dalam waktu 100 detik. Jika 1 ember yang harus diisi, berapa waktu minimum yang diperlukan untuk mengisi ember tersebut jika menggunakan 2 buah pipa A dan sebuah pipa B secara bersama-sama?

---

Solution

---

19. Berapa banyak bilangan bulat positif \(𝑛\) sehingga bentuk

\(\frac{1}{𝑛}+\frac{2}{𝑛}+\frac{3}{𝑛}+ ⋯ +\frac{32}{𝑛}+\frac{33}{𝑛}\)

adalah bilangan bulat?

---

Solution

---

20. Sebuah jembatan gantung dicat oleh 16 orang dalam waktu 12 hari. Apabila jembatan tersebut dicat 24 orang, maka waktu yang diperlukan adalah …

---

Solution

---

21. Jika pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 3, maka hasilnya \(\frac{3}{4}\). Jika pembilang dikurangi 1 dan penyebutnya ditambah 4, maka hasilnya \(\frac{1}{3}\). Pecahan itu adalah …

---

Solution

---

22. Wati memiliki dua kakak laki-laki yang kembar. Wati berumur \(a\) tahun dan kakak laki-lakinya
berumur \(b\) tahun, dimana \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat. Hasil perkalian umur
mereka bertiga adalah \(128\). Jumlah ketiga umur mereka adalah …

---

Solution

---

23. Adi adalah karyawan pada salah satu perusahaan tekstil yang bertugas menyimpan data. Suatu ketika Adi diminta pimpinan perusahaan untuk menyiapkan data tentang kenaikan produksi selama lima periode. Setelah dicari, Adi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu 4%, 9%, 7% dan 5%. Satu periode lagi, yaitu data kelima, tidak ditemukan. Selidiki data kenaikan produksi yang kelima. Bila Adi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari kelima data itu sama.

---

Solution

---

24. Bilangan 4 angka di bentuk dari angka 2, 0, 4, 3 dimana masing-masing angka digunakan tepat sekali. Jika semua bilangan 4 angka yang diperoleh dijumlahkan, maka satuannya adalah … (angka ribuan tidak boleh 0)

---

Solution

---

25. Pertunjukan dihadiri oleh sejumlah penonton. Setiap penonton dewasa membayar tiket seharga 40 ribu rupiah, sedangkan setiap penonton anak-anak membayar tiket 15 ribu rupiah. Jika jumlah uang penjualan tiket adalah 5 juta rupiah, dan banyaknya penonton dewasa adalah 40% dari seluruh penonton, maka banyaknya penonton anak-anak adalah …

---

Solution

---

26. Berapakah luas daerah segiempat yang memiliki titik-titik (-1, 0), (0, 1), (3, 0), dan (0, -4)?

---

Solution

---

27. Tentukan nilai dari
\((2024^2 + 2022^2 + 2020^2 + ⋯ + 2^2) − (2023^2 + 2021^2 + 2019^2 + ⋯ + 1^2)\)

---

Gunakan rumus \(𝑎^2 − 𝑏^2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)\)
\((2024^2 + 2022^2 + 2020^2 + ⋯ + 2^2) − (2023^2 + 2021^2 + 2019^2 + ⋯ + 1^2)\)
\(= 2024^2 − 2023^2 + 2022^2 − 2021^2 + 2020^2 − 2019^2 + ⋯ + 2^2 − 1^2\)
\(= (2024 − 2023)(2024 + 2023) + (2022 − 2021)(2022 + 2021) + ⋯ + (2 − 1)(2 + 1)\)
\(= 2024 + 2023 + 2022 + 2021 + ⋯ + 2 + 1\)
\(=\frac{2025(2024)}{2}= 2025(1012) = 2.049.300\)

---

28. Parman berangkat ke sekolah pukul 06.00 setiap pagi. Bila bermobil dengan kecepatan 40 km/jam, dia tiba di sekolah terlambat 20 menit. Bila kecepatan 60 km/jam, dia tiba 15 menit lebih awal. Di sekolah Parman, bel awal masuk sekolah dimulai pukul …

---

Diketahui
\(𝑣_1 = 40\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
\(𝑣_2 = 60\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Misalkan \(t\) jam perjalan kesekolah pas tepat waktu

\(𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 1 = 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 2\)
\(𝑣_1 (𝑡 +\frac{20}{60})= 𝑣_2 (𝑡 −\frac{15}{60})\)
\(40 (𝑡 +\frac{20}{60})= 60 (𝑡 −\frac{15}{60})\)
\(40𝑡 +\frac{800}{60}= 60𝑡 − 15\)
\(60𝑡 − 40𝑡 =\frac{40}{3}+ 15\)
\(20𝑡 =\frac{85}{3}\)
\(⇒ 𝑡 =\frac{85}{60}\;𝑗𝑎𝑚 = 1\; 𝑗𝑎𝑚\; 25\; 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡\)

Jadi jadwal bel berbunyi adalah 1 jam 25 menit setelah pukul 06.00 yaitu pukul 07.25

---

29. Dalam sebuah kompetisi matematika terdiri dari 30 soal. Setiap Jawaban benar mendapatkan nilai 4, setiap jawaban salah dikurangi 1, dan setiap jawaban kosong bernilai 0. Jika Andi mendapatkan nilai 92, berapa banyak jawaban Andi yang salah?

---

Misalkan Banyak soal benar, salah dan kosong adalah B, S dan K
𝐵 + 𝑆 + 𝐾 = 30
4𝐵 − 𝑆 = 92
Jumlahkan kedua persamaan
5𝐵 + 𝐾 = 122
Kemungkinan nilai B yang memenuhi 24 dan K = 2, dan banyak soal dijawab salah : 30 – 24 – 2 = 4
Jadi banyak jawaban Andi yang salah adalah 4 soal

---

30. Pada tabel di bawah ini, bilangan ketiga dan seterusnya merupakan hasil kali dari dua bilangan terdekat sebelumnya. Tentukan nilai C.

---

\(5𝐵 = 𝐶\)
\(𝐵𝐶 = 𝐷\)
\(𝐶𝐷 = 675\)

Selanjutnya

\(𝐶𝐷 = 675\)
\(𝐶𝐵𝐶 = 675\)
\((5𝐵)𝐵(5𝐵) = 675\)
\(25𝐵^3 = 675\)
\(𝐵^3 =\frac{675}{25}= 27\)
\(𝐵 = 3\)

Jadi nilai \(𝐶 = 5𝐵 = 5(3) = 15\)

---

31. Pada sebuah Negara plat kendaraan terdiri dari 3 angka dan diikuti 2 abjad. Angka 0 tidak boleh ditaruh dimuka. Berapakah maksimum jumlah plat yang dapat dibuat di Negara tersebut?

---

Masing-masing kotak diisi dengan semua kemungkinan, 3 kotak pertama angka dan 2 kotak terakhir adalah abjad, angka 0 tidak boleh ditaruh di muka.
Jadi jumlah plat maksimum yang bisa dibentuk adalah 9 × 10 × 10 × 26 × 26 = 608.400

---

32. Jika \(2^{3𝑥} = 16^{𝑦+1}\) dan \(2𝑥 = 5𝑦 − 17\), Tentukan nilai dari \(𝑥 + 𝑦\)?

---

\(2𝑥 = 5𝑦 − 17\)
\(2𝑥 − 5𝑦 = −17 … (1)\)

selanjtnya

\(2^{3𝑥} = 16^{𝑦+1}\)
\(2^{3𝑥} = 2^{4(𝑦+1)}\)
\(3𝑥 = 4𝑦 + 4\)
\(3𝑥 − 4𝑦 = 4 … (2)\)

Kurangkan persamaan (2) dan (1)

\(3𝑥 − 4𝑦 = 4\)
\(2𝑥 − 5𝑦 = −17\)
___________________ –
\(𝑥 + 𝑦 = 21\)

Jadi nilai \(𝑥 + 𝑦 = 21\)

---

\(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) memiliki paritas yang sama yaitu keduanya ganjil atau keduanya genap, maka kemungkinan pasangan \((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((2023, 1), (289, 7)\), dan \((119,17)\).

Kemungkinan 1
\(𝑎 + 𝑏 = 2023\)
\(𝑎 − 𝑏 = 1\)
_______________+
\(2𝑎 = 2024 ⇒ 𝑎 = 1012\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 1\) , maka nilai \(𝑏 = 1011\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011)\)

Kemungkinan 2
\(𝑎 + 𝑏 = 289\)
\(𝑎 − 𝑏 =7\)
_______________+
\(2𝑎 = 296 ⇒ 𝑎 = 148\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 7\) , maka nilai \(𝑏 = 141\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((148,141)\)

Kemungkinan 3
\(𝑎 + 𝑏 = 119\)
\(𝑎 − 𝑏 = 17\)
_______________+
\(2𝑎 = 136 ⇒ 𝑎 = 68\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 17\) , maka nilai \(𝑏 = 51\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((68,51)\)
𝐽𝑎𝑑𝑖 semua pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011), (148,141)\),dan \((68,51)\)

\(2^3 ⋅ 3^5 ⋅ 5^7 ⋅ 7^9 = 2^2 ⋅ 3^4 ⋅ 5^6 ⋅ 7^8 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = (2^2)^1 ⋅ (3^2)^2 ⋅ (5^2)^3 ⋅ (7^2)^4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7\)
Jadi banyaknya pembagi yang memenuhi adalah \((1 + 1)(2 + 1)(3 + 1)(4 + 1) = 2(3)(4)(5) =120\) bilangan

\((𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑦^2)(𝑥 + 𝑦) = 3(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^3 + 𝑎𝑥^2𝑦 + 𝑏𝑥𝑦^2 + 𝑏𝑦^3 = 3(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒16 + (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑥𝑦 = 3(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒16 + 3𝑥𝑦 = 3(𝑥 + 𝑦) … (1)\)
Selanjutnya
\((𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑦^3)(𝑥 + 𝑦) = 16(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^4 + 𝑎𝑥^3𝑦 + 𝑏𝑥𝑦^3 + 𝑏𝑦^4 = 16(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒42 + (𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑦^2)𝑥𝑦 = 16(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒42 + 7𝑥𝑦 = 16(𝑥 + 𝑦) … (2)\)
Eliminasi \(7\) kali persamaan \((1)\) dan \(3\) kali persamaan \((2)\), diperoleh
\(𝑥 + 𝑦 = −14\) dan \(𝑥𝑦 = −38\)
Selanjutnya
\((𝑎𝑥^4 + 𝑏𝑦^4)(𝑥 + 𝑦) = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑎𝑥^4𝑦 + 𝑏𝑥𝑦^4 + 𝑏𝑦^5 = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑦^5 + (𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑦^3)𝑥𝑦 = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑦^5 + 16𝑥𝑦 = 42(𝑥 + 𝑦)\)
\(⇒𝑎𝑥^5 + 𝑏𝑦^5 = 42(−14) − 16(−38) = 20\)

• \(𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 𝑒 = 1\), banyak cara ada \(1\) cara
• Terdapat \(4\) angka \(1\) dan bilangan lainnya adalah \(\{2, 3, 4, 5, 6\}\), banyak permutasinya \(\frac{5!}{4!×5} =25\) cara
• Terdapat \(3\) angka \(1\) dan bilangan \(2\) angka lainnya adalah \((2,2), (2,3), (2,4), (2,5)\), dan \((3,3)\). Banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!.2!}× 2 +\frac{5!}{3!}× 3 = 10 × 2 + 20 × 3 = 80\) cara.
• Terdapat \(2\) angka \(1\) dan \(3\) bilangan lainnya adalah \((2, 2, 2)\), banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!.2!}=10\) cara
• Teradapat \(1\) angka \(1\) (tidak memenuhi)

Jadi banyaknya barisan pasangan bilangan bulat positif \((𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒)\) yang memenuhi sebanyak \(1+25+80+10=116\) cara

Bentuk umum
\(𝑛 ⋅ (𝑛 + 1)^2 = 𝑛 ⋅ (𝑛^2 + 2𝑛 + 1) = 𝑛^3 + 2𝑛^2 + 𝑛\)
diperoleh
\(1 ⋅ 2^2 + 2 ⋅ 3^2 + 3 ⋅ 4^2 + ⋯ + 19 ⋅ 20^2\)
\(= 1^3 + 2. 1^2 + 1 + 2^3 + 2. 2^2 + 2 + 3^3 + 2. 3^2 + 3 + ⋯ + 19^3 + 2. 19^2 + 19\)
\(= 1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 19^3 + 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ⋯ + 19^2 ) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 19)\)
\(=\left(\frac{(1+19)(19)}{2}\right)^2+2\left(\frac{19(19+1)(2(19)+1)}{6}\right)+\left(\frac{(1+19)(19)}{2}\right)\)\(=\left(\frac{(20)(19)}{2}\right)^2+2\left(\frac{19(20)(39)}{6}\right)+\left(\frac{(20)(19)}{2}\right)\)
\(=(190)^2+4940+190\)
\(=41.230\)

Cara lain:
Bentuk umum lainnya adalah
\((𝑛 − 1)𝑛^2 = 𝑛^3 − 𝑛^2\)
Diperoleh
\(1 ⋅ 2^2 + 2 ⋅ 3^2 + 3 ⋅ 4^2 + ⋯ + 19 ⋅ 20^2\)
\(= 2^3 − 2^2 + 3^3 − 3^2 + 4^3 − 4^2 + ⋯ + 20^3 − 20^2\)
\(= (1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 20^3) − (1^2 + 2^2 + 3^2 + ⋯ + 20^2)\)
Tambahan \(1^3\) dan \(1^2\) tidak mengubah hasil karena selisihnya \(0\)
\(=\left(\frac{(1+20)(20)}{2}\right)^2-\left(\frac{20(20+1)(2(20)+1)}{6}\right)\)
\(=210^2-2870\)
\(=41.230\)

\(𝐾𝑃𝐾(8,12,16)𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(48𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(6𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(−𝑛 + 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(−𝑛 ≡ −3\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)
\(𝑛 ≡ 3\; 𝑚𝑜𝑑\; 7\)

Jadi bilangan terkecil adalah \(48(3) + 3 = 147\)

Kecepatan berjalan : \(𝑣_1 = 4\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Kecepatan berlari : \(𝑣_2 = 6\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Waktu berjalan : \(𝑡_1\)
Waktu berlari : \(𝑡_2 = 𝑡_1 − 3\frac{3}{4}\) menit = \((𝑡_1 −\frac{1}{16})\) 𝑗𝑎𝑚
Samakan jarak tempuh dengan cara berjalan dan berlari

\(𝑆_1 = 𝑆_2\)
\(𝑣_1 × 𝑡_1 = 𝑣_2 × 𝑡_2\)
\(4𝑡_1 = 6 (𝑡_1 −\frac{1}{16})\)
\(4𝑡_1 = 6𝑡_1 −\frac{3}{8}\)
\(2𝑡_1 =\frac{3}{8}\)
\(⇒ 𝑡_1 =\frac{3}{16}\)

Jadi jarak rumah ke sekolah adalah \(𝑣_1 × 𝑡_1 = 4 ×\frac{3}{16}=\frac{3}{4}\) km

Untuk penyebut gunakan rumus \(\sqrt{(𝑎 + 𝑏) + 2\sqrt{𝑎𝑏}} = \sqrt{𝑎} + \sqrt{𝑏}\)

\(\frac{\sqrt{45} + \sqrt{18}}{\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}}=\frac{3\sqrt 5 + 3\sqrt 2}{\sqrt{(5 + 2) + 2\sqrt{5.2}}}=\frac{3(\sqrt 5 + \sqrt 2)}{(\sqrt 5 + \sqrt 2)}= 3\)

Jumlahkan kedua persamaan

\(\frac{5}{𝑥 − 2}+\frac{2}{𝑦 − 3}+\frac{4}{𝑥 − 2}−\frac{2}{𝑦 − 3}= 8 + 10\)
\(\frac{9}{𝑥 − 2}= 18 ⇒ 𝑥 − 2 =\frac{1}{2}⇒ 𝑥 =\frac{5}{2}\)
Subtitusi \(𝑥 − 2 =\frac{1}{2}\) ke persamaan (1)
\(\frac{5}{𝑥 − 2}+\frac{2}{𝑦 − 3}= 8\)
\(10 +\frac{2}{𝑦 − 3}= 8\)
\(\frac{2}{𝑦 − 3}= −2\)
\(𝑦 − 3 = −1\)
\(𝑦 = 2\)
Jadi nilai dari \(𝑥𝑦 =\frac{5}{2}(2) = 5\)

Banyak cara menempatkan surat adalah 4! = 24 cara

• Hanya satu yang sesuai.
  misalkan dari 4 surat A, B, C, D yang sesuai hanya A
  \(\begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  A&B&C&D\\
  \hline
  A&C&D&B\\
  \hline
  A&D&B&C\\
  \hline
  \end{array}\)
  Ada 2 cara, karena yang bersesuain bisa di A, B, C atau D, maka banyak cara ada 8 cara

• Ada dua surat yang bersesuaian
  misalkan A dan B yang bersesuian
  \(\begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  A& B& C& D\\
  \hline
  A& B& D& C\\
  \hline
  \end{array}\)
  Ada 1 cara, kemungkinan lain selain AB yaitu, AC, AD, BC, BD, CD , maka banyak cara ada 6 cara
• Ada 3 surat yang bersesuain
  Apabila 3 surat bersesuaian maka sama saja dengan 4 bersesuaian ada 1 cara

Jadi banyak cara berbeda seoarang pembantu yang ceroboh memasukan empat buah surat ke dalam Amplop, dimana tidak ada alamat surat di amplop yang sesuai dengan isi suratnya adalah 24 − (8 + 6 + 1) = 9 𝑐𝑎𝑟𝑎

Misalkan \(∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥\) dan \(∠𝐶𝐵𝐷 = 𝑦\),
karena \(AD = AB\) maka \(∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥°\)
Karena \(∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐵 = 30°\) maka \(∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐶 − 30° = 𝑥 + 𝑦 − 30°\)
Dengan menggunakan jumlah sudut segitiga

\(∠𝐴𝐶𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐵 = 180°\)
\(𝑥 + 𝑦 − 30 + 𝑥 + 𝑦 + 180° − 2𝑥 = 180°\)
\(2𝑦 = 30°\)
\(𝑦 = 15°\)
Jadi besar \(∠𝐷𝐵𝐶 = 15°\)

karena \(𝑥: 𝑦 = 9: 5\) maka bisa dimisalkan \(𝑥 = 9𝑛\) dan \(𝑦 = 5𝑛\)

\(\frac{3𝑥 − 4𝑦}{7𝑥 + 5𝑦}=\frac{3(9𝑛) − 4(5𝑛)}{7(9𝑛) + 5(5𝑛)}=\frac{27𝑛 − 20𝑛}{63𝑛 + 25𝑛}=\frac{7𝑛}{88𝑛}=\frac{7}{88}\)

\(𝑏^2 + 𝑐^2 = 𝑎^2 … (1)\)
\(⇒𝑎 + 𝑐 = 50 ⇒ 𝑎 = 50 − 𝑐 …(2)\)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
\(𝑏^2 + 𝑐^2 = (50 − 𝑐)^2\)
\(⇒(20)^2 + 𝑐^2 = 2500 − 100𝑐 + 𝑐^2\)
\(⇒400 = 2500 − 100𝑐\)
\(⇒4 = 25 − 𝑐\)
\(⇒𝑐 = 21\)
Subtitusi nilai \(c\) ke persamaan (2), diperoleh
\(𝑎 = 50 − 𝑐 = 50 − 21 = 29\)
Jadi nilai \(𝑎 − 𝑐 = 29 − 21 = 8\)

\(𝑥 −\frac{1}{𝑥}= 5\)
\((𝑥 −\frac{1}{𝑥})^2= 5^2\)
\(𝑥^2 − 𝑥(\frac{1}{𝑥})2 +\frac{1}{𝑥^2} = 25\)
\(𝑥^2 − 2 + \frac{1}{𝑥^2} = 25\)
\(𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2} = 27\)

Misalkan banyak perempuan dan laki-laki adalah \(P\) dan \(L\), karena hanya 12 orang mendapatkan nilai \(A\) maka didapatkan persamaan

\(40\%𝑃 + 50\%𝐿 = 12\)
\(0,4𝑃 + 0,5𝐿 = 12\)
\(4𝑃 + 5𝐿 = 120 … (1)\)

Diketahui perbandingan \(𝑃 ∶ 𝐿 = 5: 4\), bisa dimisalkan \(𝐿 = 4𝑛\) dan \(𝑃 = 5𝑛\), subtitusi kepersamaan (1) diperoleh

\(4𝑃 + 5𝐿 = 120\)
\(4(5𝑛) + 5(4𝑛) = 120\)
\(20𝑛 + 20𝑛 = 120\)
\(40𝑛 = 120\)
\(𝑛 = 3\)

Jadi jumlah murid di kelas tersebut adalah \(𝑃 + 𝐿 = 5𝑛 + 4𝑛 = 9𝑛 = 9(3) = 27\)

• Bilangan 1 digit : {5} ada 1
• Bilangan 2 digit : {14, 19, 23, 28, …., 91, 96} ada 18
• Bilangan 3 digit
  100-199 bilangan yang memenuhi {104, 109, 113, 118, … ,190, 195} ada 20
  200-299 bilangan yang memenuhi {203, 208, 212, 217, …,294, 299} ada 20
  300-399 bilangan yang memenuhi {302, 307, 311, 316,…,393, 398} ada 20
  400-500 bilangan yang memenuhi {401, 406, …, 492, 497, 500} ada 21

Jadi banyak bilangan yang memenuhi adalah 1 + 18 + 20 + 20 + 20 + 21 = 100 bilangan

Perhatikan untuk \(n\) nya genap

\(S_n=-\frac{n}{2}\)

dan untuk \(n\) nya ganjil

\(S_n=S_{n-1}+n\)

\(𝑆_{25} + 𝑆_{26} + 𝑆_{27}\)
\( = 𝑆_{24} + 25 + 𝑆_{26} + 𝑆_{26} + 27\)
\( = −12 + 25 − 13 − 13 + 27 = 52 − 38 = 14\)

\(2021 × 20222022 × 202320232023 − 2023 × 20212021 × 202220222022\)
\(= 2021 × (20220000 + 2022) × (202300000000 + 20230000 + 2023) − 2023 ×(20210000 + 2021) × (202200000000 + 20220000 + 2022)\)
\(= 2021 × 2022(10000 + 1) × 2023(100000000 + 10000 + 1) − 2023 × 2021(10000 + 1) ×2022(100000000 + 10000 + 1)\)
\(= 2021 × 2022 × 10001 × 2023 × 100010001 − 2023 × 2021 × 10001 × 2022 × 100010001\)
\(= 0\)

Kemungkinan salah satu susunan adalah \(GGGAA\).
Banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!2!}=\frac{5.4.3!}{3!.2!}=\frac{20}{2}=10\).
Banyaknya susunan jika dua pelemparan pertama muncul gambar \(GGGAA, GGAGA,GGAG\) ada \(3\) cara.
Jadi peluang dua pelemparan pertama muncul gambar adalah \(\frac{3}{10}\)

\(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2\sqrt{𝑎𝑏} = (\sqrt {𝑎} + \sqrt{𝑏})^2\)
\(𝑥^2 ∘ 9𝑥 = (\sqrt{𝑥^2} + \sqrt{9𝑥})^2= (𝑥 + 3\sqrt {𝑥})^2= 121\)
Karena \(x\) positif maka berlaku
\(𝑥 + 3\sqrt {𝑥} = 11\)
\((\sqrt {𝑥} +\frac{3}{2})^2−\frac{9}{4}=11\)
\((\sqrt {𝑥} + \frac{3}{2})^2= 11 +\frac{9}{4}=\frac{53}{4}\)
\(\sqrt {𝑥} +\frac{3}{2}= ±\frac{\sqrt{53}}{2}\)
\(\sqrt {𝑥} = ±\frac{\sqrt{53}}{2}−\frac{3}{2}\)
Nilai \(x\) yang memenuhi adalah
\(\sqrt {𝑥} =\frac{\sqrt{53}}{2}−\frac{3}{2}\)
\(𝑥 = (\frac{\sqrt{53}}{2}−\frac{3}{2})^2\)
\(=\frac{53}{4}+\frac{9}{4}− 2(\frac{\sqrt{53}}{2})(\frac{3}{2})\)
\(=\frac{62}{4}−\frac{3\sqrt{53}}{2}\)
\(=\frac{31}{2}−\frac{3\sqrt{53}}{2}\)
\(=\frac{31 − 3\sqrt{53}}{2}\)

Misalkan luas daerah 3 bagian yang sama adalah \(a\)
Karena \([𝐴𝐵𝐷] = [𝐴𝐷𝐹𝐸] = [𝐸𝐶𝐹]=a\) maka
\(\frac{[𝐴𝐵𝐷]}{[𝐴𝐷𝐶]}=\frac{[ABD]}{[ADFE]+[ECF]}=\frac{a}{a+a}=\frac{1}{2}=\frac{𝐵𝐷}{𝐷𝐶}\)
Dengan menggunak sifat garis bagi \(AD\) pada sudut \(∠BAC\), diperoleh rumus
\(𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶. 𝐵𝐷\)
\(\frac{𝐵𝐷}{𝐶𝐷}=\frac{𝐴𝐵}{𝐴𝐶}=\frac{1}{2}\)
\(⇒ 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2(7) = 14\)
Misalkan panjang \(𝐵𝐶 = 𝑎\), dengan menggunakan pertidaksaamaan segitiga
\(𝑎 + 7 > 14 ⇒ 𝑎 > 7\)
\(𝑎 + 14 > 7 ⇒ 𝑎 > −7\)
\(14 + 7 > 𝑎 ⇒ 𝑎 < 21\)
Irisan ketiga pertidaksamaan di atas adalah
\(7 < 𝑎 < 21\)
Nilai \(𝑎\) yang memenuhi adalah \(\{8, 9, 10, … , 20\}\) banyaknya ada \(13\) kemungkinan.

Misalkan banyak noktah pada masing-masing kartu adalah \((x,y)\)

• Noktah maksimal 1
  (1,0), (1,1) jumlahnya 1 + 2 = 3
• Noktah maksimal 2
  (2,0), (2,1), (2,2) jumlahnya 6 + 3 = 9
• Noktah maksimal 3
  (3,0), (3,1), (3,2), (3,3) jumlahnya 12 + 6 = 18
• Noktah maksimal 4
  (4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) jumlahnya 20 + 10 = 30
• …
• noktah maksimal 10
  (10,0), (10,1),…(10,10) jumlahnya 165

Dari hasil penjumlahan noktah di atas membentuk barisan bertingkat

\(3, 9, 18, 30, …\)

Karena maksimal noktah adalah 10 maka jumlah semua noktah adalah
\(3 + 9 + 18 + 30 + 45 + 63 + 84 + 108 + 135 + 165 = 660\)

Misalkan panjang \(𝐹𝑃 = 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑥\)
karena \(𝑃𝐴 = 𝑃𝐵\) maka dipastikan titik \(𝐹\) merupakan titik tengah garis \(𝐷𝐶\)
Karena \(PF ⊥ DC\), maka panjang \(𝑃𝐸 = 𝐹𝐸 − 𝐹𝑃 = 30 − 𝑥\)
Perhatikan segitiga siku-siku \(𝑃𝐸𝐵\), dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(𝑃𝐵^2 = 𝑃𝐸^2 + 𝐸𝐵^2\)
\(𝑥^2 = (30 − 𝑥)^2 + 15^2\)
\(𝑥^2 = 900 − 60𝑥 + 𝑥^2 + 225\)
\(60𝑥 = 1125\)
\(𝑥 =\frac{75}{4}\)

Jadi luas segitiga

\(𝑃𝐴𝐵 =\frac{1}{2}(𝑃𝐸)(𝐴𝐵) =\frac{1}{2}(30 −\frac{75}{4})(30) =\frac{1}{2}(\frac{45}{4})(30)=\frac{675}{4}\;𝑐𝑚^2\)

\(Δ(𝑎, 3,5) = 𝑎^2 + 3^2 + 5^2 = 𝑎^2 + 9 + 25 = 𝑎^2 + 34\)

Selanjutnya

\((Δ(𝑎, 3,5)) ∗= 1600\)
\(⇒(𝑎^2 + 34) ∗= 1600\)
\(⇒(𝑎^2 + 34)^2 = 40^2\)
\(⇒𝑎^2 + 34 = 40\)
\(⇒𝑎^2 = 40 − 34 = 6\)
\(⇒𝑎 = \sqrt{6}\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(𝑥\), diperoleh persamaan:

\(𝑥 = 6 +\frac{1}{𝑥}\)

Kalikan kedua ruas dengan \(𝑥\)

\(𝑥^2 = 6𝑥 + 1\)
\(⇒𝑥^2 − 6𝑥 = 1\)
\(⇒(𝑥 − 3)^2 − 9 = 1\)
\(⇒(𝑥 − 3)^2 = 10\)
\(⇒𝑥 − 3 = ±\sqrt{10}\)
\(⇒𝑥 = ±\sqrt{10} + 3\)

Karena \(x\) nya positif maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(3 + \sqrt{10}\)

Dengan menggunakan euler totient function

\(𝜑(50) = 50 (1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{5}) = 50 (\frac{1}{2})(\frac{4}{5}) = 20\)

Selanjutnya

\(6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 𝜑(50)} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 20} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^3\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 = 216\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 16\)

Langkah pertama kelompokkan menjadi 2 kelompok:
\(11 × 101 × 10001 = 11111111\)
\(111 × 1001 × 1000001 = 111111111111\)
Kalikan kedua hasil di atas diperoleh \(8\) digit terakhir adalah \(87654321\), selanjunya kalikan
dengan \(100001\)
\(87654321 × 100001 = 87654321 × (100000 + 1) = 8765432100000 + 87654321\)
Delapan bilangan terakhir dari hasil penjumlahan di atas adalah \(19754321\)

\(𝑥 − 𝑦^2 = 3\)
Kuadratkan kedua ruas, diperoleh
\(𝑥^2 + 𝑦^4 − 2𝑥𝑦^2 = 9\)
Subtitusi persamaan \(𝑥^2 + 𝑦^4 = 13\) ke persamaan di atas

\(13 − 2𝑥𝑦^2 = 9\)
\(⇒2𝑥𝑦^2 = 4\)
\(⇒𝑥𝑦^2 = 2\)
\(⇒𝑥(𝑥 − 3) = 2\)
\(⇒𝑥^2 − 3𝑥 − 2 = 0\)
\(⇒(𝑥 −\frac{3}{2})^2−\frac{9}{4}− 2 = 0\)
\(⇒(𝑥 −\frac{3}{2})^2=\frac{17}{4}\)
\(⇒(𝑥 −\frac{3}{2}) = ±\frac{\sqrt{17}}{2}\)
\(⇒𝑥 = ±\frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{3}{2}\)

Karena \(x\) positif maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\)

Misalkan sudut pada ujung bintang adalah \(x\), Jumlah semua sudut pada ujung bintang adalah \(180° = 𝜋\).

\(7𝑥 = 𝜋 ⇒ 𝑥 =\frac{𝜋}{7}\)

Dari segitiga berwarna merah

\(3𝑥 + 2𝑦 = 𝜋\)
\(𝑎 + 2𝑦 = 𝜋\)

Dari kedua persamaan diperoleh

\(𝑎 = 3𝑥 = 3(\frac{𝜋}{7}) =\frac{3𝜋}{7}\)

\(𝑎 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑥 − 2}⇒ 𝑥 − 2 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}\)\(⇒𝑥 − 1=\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑎}\)\(⇒\frac{1}{𝑥 − 1}=\frac{𝑎}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)

dengan cara yang sama diperoleh

\(𝑏 =\frac{𝑐 + 𝑎}{𝑦 − 2}⇒\frac{1}{𝑦 − 1}=\frac{𝑏}{𝑐 + 𝑎 + 𝑏}\)
\(𝑐 =\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑧 − 2}⇒\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)
Jumlahkan ketiga persamaan, diperoleh

\(\frac{1}{𝑥 − 1}+\frac{1}{𝑦 − 1}+\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}= 1\)
\(⇒\frac{(𝑦 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)}{(𝑥 − 1)(𝑦 − 1)(𝑧 − 1)}= 1\)
\(⇒𝑦𝑧 − 𝑦 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑧 − 𝑥 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1\)
\(⇒(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) − 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 3 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 1\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 4\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(101) − 3(2023) + 4 = −5863\)

Misalkan banyak lembaran uang 2000-an, 5000-an dan 10.000-an adalah \(𝑥, 𝑦\) dan \(𝑧\)

\(2000𝑥 + 5000𝑦 + 10000𝑧 = 2.010.000\)
\(2𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 2010\)

\(2x\) dan \(10z\) bilangan genap maka dipastikan \(5y\) juga merupakan bilangan genap, karena \(5y\) genap maka \(5y\) merupakan kelipatan \(10\). Karena \(5y\) dan \(10z\) kelipatan \(10\) maka dipastikan \(2x\) juga merupakan kelipatan \(10\). Selanjutnya dimisalkan

\(2𝑥 = 10𝑎, 5𝑦 = 10𝑏\)

Didapatkan persamaan

\(10𝑎 + 10𝑏 + 10𝑧 = 2010\)
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑧 = 201\)

Dengan mengunakan teorema star bars banyak pasangan bilangan bulat tak negative \((𝑎, 𝑏, 𝑧)\) adalah \({{201 + 3 − 1}\choose {3 − 1}}={203\choose 2} = 20503\) cara

\(𝑎_0 = 2\)
\(𝑎_1 =\frac{𝑎_0}{1+𝑎_0}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\)
\(𝑎_2 =\frac{𝑎_1}{1+𝑎_1}=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}\)

\(𝑎_3 =\frac{𝑎_2}{1+𝑎_2}=\frac{\frac{2}{5}}{1+\frac{2}{5}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{2}{7}\)

…

Penyebutnya membentuk pola bilangan ganjil, bentuk umum pola ke-n adalah

\(𝑎_𝑛 =\frac{2}{2𝑛+1}\)

Jadi \(𝑎_{2023} =\frac{2}{2(2023)+1}=\frac{2}{4047}\)

\(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}= 2023^{2023.2023^{2023}} = (2023^{2023})^{2023^{2023}}\)
Jadi nilai \(x\) nya adalah \(2023^{2023}\)

Jadi banyak cara adalah \(6 + 14 + 16 + 15 + 10 = 61\) cara

\([𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{2}(2)(2) = 2\)

Karena \([𝐴𝐸𝐵𝐷] = 2[𝐸𝐷𝐶]\) maka

\([𝐸𝐷𝐶] =\frac{1}{3}[𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{3}(2) =\frac{2}{3}\)

Tarik garis tinggi segitiga \(𝐸𝐷𝐶\) dari titik \(𝐸\)
berpotongan di \(𝐵𝐶\) di titik misalkan titik \(𝐹\)

\([𝐸𝐷𝐶] =\frac{1}{2}(𝐸𝐹)(𝐷𝐶)\)
\(\frac{2}{3}=\frac{1}{2}(𝐸𝐹)1 ⇒ 𝐸𝐹 =\frac{4}{3}\)

Karena \(Δ𝐸𝐹𝐶\) juga merupakan segitiga siku-siku sama kaki maka \(𝐸𝐹 = 𝐹𝐶\)

\(𝐹𝐷 = 𝐹𝐶 − 𝐷𝐶 =\frac{4}{3}− 1 =\frac{1}{3}\)

Selanjutnya dengan menggunakan rumus pythagoras

\(𝐸𝐷 = \sqrt{𝐹𝐸^2 + 𝐹𝐷^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{17}{9}}=\frac{\sqrt{17}}{3}\)

Misalkan Mula-mula banyaknya yang duduk adalah \(D\) dan yang berdiri adalah \(B\)

\(\frac{\text{𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑆𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔}}{\text{𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔}}=\frac{58}{42}\)

\(\frac{100\%𝐷 − 30\%𝐷 + 30\%𝐵}{100\%𝐵 − 30\%𝐵 + 30%𝐷}=\frac{58}{42}\)

\(\frac{100\%𝐷 − 30\%𝐷 + 30\%𝐵}{100\%𝐵 − 30\%𝐵 + 30\%𝐷}=\frac{29}{21}\)

\(\frac{10𝐷 − 3𝐷 + 3𝐵}{10𝐵 − 3𝐵 + 3𝐷}=\frac{29}{21}\)

\(29(7𝐵 + 3𝐷) = 21(7𝐷 + 3𝐵)\)
\(3𝐷 = 7𝐵\)

Jadi perbandingan \(D : B = 140 : 60 = 7 : 3\)

\(𝑥 = \sqrt{19 − 8\sqrt{3}} = \sqrt{19 − 2\sqrt{16.3}} = \sqrt{16} − \sqrt{3} = 4 − \sqrt{3}\)
\(𝑥 − 4 = −\sqrt{3}\)

Kuadratkan kedua ruas, diperoleh

\(𝑥^2 − 8𝑥 + 16 = 3\)
\(𝑥^2 − 8𝑥 + 13 = 0\)
\(𝑥^2 − 8𝑥 + 15 = 2\)

selanjutnya

\(\begin{align}
𝑥^4 − 6𝑥^3 − 2𝑥^2 + 18𝑥 + 23 &= 𝑥^2(𝑥^2 − 8𝑥 + 13) + 2𝑥^3 − 15𝑥^2 + 18𝑥 + 23\\
&= 2𝑥^3 − 15𝑥^2 + 18𝑥 + 23\\
&= 2𝑥(𝑥^2 − 8𝑥 + 13) + 𝑥^2 − 8𝑥 + 13 + 10\\
&= 10\\
\end{align}\)

Jadi nilai dari
\(\frac{𝑥^4−6𝑥^3−2𝑥^2+18𝑥+23}{𝑥^2−8𝑥+15}=\frac{10}{2}=5\)

\(3𝑥 + 5𝑦 = 1008\)
\(3𝑥 = 1008 − 5𝑦\)
\(𝑥 =\frac{1008 − 5𝑦}{3}\)

Kemungkinan nilai \(𝑦\) yang memenuhi adalah \(\{3, 6, 9, …., 201\}\).
Banyaknya pasangan \((x,y)\) sma dengan banyaknya nilai \(y\) yang memenuhi yaitu
\(\frac{201−3}{3}+1=67\) pasangan.

\(\sqrt{𝑥} + \sqrt{𝑦} = \sqrt{2023}\)
\(\sqrt{𝑥} + \sqrt{𝑦} = 17\sqrt{7}\)

misalkan

\(\sqrt{x}=a\sqrt{7}\)
\(\sqrt{y}=b\sqrt{7}\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=17\sqrt{7}=a\sqrt{7}+b\sqrt{7}\)

Karena \(0 < 𝑥 < 𝑦\) , maka kemungkinan nilai \((a, b)\) adalah \(\{(1,16), (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10), (8,9)\}\),
Jadi banyak kemungkinan pasangan \((x,y)\) adalah 8 pasangan.

\(2023 = 7×17^2\)

faktor positif dari 2023 adalah 1, 7, 17, 119, 289 dan 2023

\(2023=7×17²\).
Jadi banyaknya faktor prima dari 2023 adalah 2 yaitu 7 dan 17

faktor positif dari 2023 adalah 1, 7, 17, 119, 289 dan 2023.
Jadi jumlahnya adalah \(1+7+17+119+289+2023=2456\)

\(\frac{n+2024}{n+1}=\frac{n+1+2023}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}+\frac{2023}{n+1}=1+\frac{2023}{n+1}\)

supaya menghasilkan bilangan bulat maka \(\frac{2023}{n+1}\) harus merupakan bilangan bulat. Nilai \(n+1\) yang memenuhi adalah semua faktor positif dari 2023 yaitu \(n+1=\{1, 7, 17, 119, 289, 2023\}\), untuk \(n+1=1\) tidak memenuhi karena nilai \(n=0\) bukan bilangan bulat positif.

Jadi semua nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(6, 16, 118, 288, 2022\)

Misalkan tahun yang jumlah angka-angkanya adalah 7 adalah tahun \(\overline{2abc}\)

\(2+a+b+c=7⇒a+b+c=5\)

untuk \(a=0, b+c=5\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)\) ada 6 solusi.
untuk \(a=1, b+c=4\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)\) ada 5 solusi.
untuk \(a=2, b+c=3\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\) ada 4 solusi.
untuk \(a=3, b+c=2\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,2),(1,1),(2,0)\) ada 3 solusi.
untuk \(a=4, b+c=1\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,1),(1,0)\) ada 2 solusi.
untuk \(a=5, b+c=0\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,0)\) ada 1 solusi.

Jadi banyak tahun yang memenuhi adalah \(6+5+4+3+2+1=21\)

Bagi yang sudah mempelajari teorema starbars bisa langsung eksekusi pake teorema tersebut.

\(1+2+3+…+n≈2023\)
\(\frac{(n+1)n}{2}≈2023\)
\((n+1)n≈4046\)

perkalian dua bilangan berurutan yang mendekati adalah \(63×64=4032\), nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(63\)

\(1+2+3+…+63=2016\)

Jadi nilai yang terhitung dua kali adalah \(2023-2016=7\)

Dengan melakukan observasi bilangan prima terbesar yang kurang dari 2023 adalah 2017 dan bilangan prima terkecil yang lebih dari 2023 adalah 2027. Jumlah kedua bilangan adalah 2017 + 2027 = 4044

\(2^{2023}=2×2^{2022}=2^{2022}+2^{2022}=(2^{1011})^2 + (2^{1011})^2\)

Bukti:
Karena \(2023\) adalah bilangan ganjil, maka dapat diperoleh dari penjumlahan bilangan ganjil dan genap.

\(2023 ≡ 3\; mod\; 4\)

Misalkan bilangan genapnya adalah \(2m\) dan bilangan ganjilnya adalah \(2n+1\), untuk \(m\) dan \(n\) bilangan bulat positif maka 

\((2m)^2 = 4m^2 ≡ 0\; mod\;4\)
\((2n+1)^2=4n^2+4n+1≡1\;mod\;4\)

\((2m)^2+(2n+1)^2 ≡ 0 + 1 ≡ 1\;mod\;4\), persamaan ini kontradiksi dengan \(2023 ≡ 3\; mod\; 4\) maka jelas bahwa 2023 tidak dapat dibentuk dari penjumlahan 2 bilangan kuadrat.

misalkan \(2023^x=n, 2023^{-x}=n^{-1}\),\(a^1+a^{-1}=3\)

Kita peroleh:
\(\sqrt{\frac{2023^{6x}-2023^{-6x}}{2023^x – 2023^{-x}}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^{6}-a^{-6}}{a^1 – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{3})^2-(a^{-3})^2}{a^1 – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{3}-a^{-3})(a^{3}+a^{-3})}{a^x – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{1}-a^{-1})(a^{2}+1+a^{-2})(a^{1}+a^{-1})(a^{2}-1+a^{-2})}{a^1 – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{(a^{2}+1+a^{-2})(3)(a^{2}-1+a^{-2})}\)
\(=\sqrt{((a^{1}+a^{-1})^2-1)(3)((a^{1}+a^{-1})^2-3)}\)
\(=\sqrt{(3)^2-1)(3)((3)^2-3)}\)
\(=\sqrt{(8)(3)(6)}\)
\(=\sqrt{144}=12\)

misalkan \(x=\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+…}}}}\), diperoleh persamaan

\(x=\frac{2022}{2+x}\)
\(⇒(2+x)(x)=2022\)
\(⇒x^2+2x=2022\)
\(⇒x^2+2x+1=2022+1\)
\(⇒(x+1)^2=2023\)
\(⇒x+1=\sqrt{2023}\)
\(⇒x=\sqrt{2023}-1\)

jadi 

\(\left(1+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+…}}}}\right)^2=(1+x)^2=(1+\sqrt{2023}-1)^2=(\sqrt{2023})^2=2023\)

misalkan \(x=2023\), kita peroleh

\(\begin{align}
\sqrt{2024×2022+1}&=\sqrt{(2023+1)×(2023-1)+1}\\
&=\sqrt{(x+1)(x-1)+1}\\
&=\sqrt{x^2-1+1}\\
&=\sqrt{x^2}\\
&=x\\
&=2023
\end{align}\)

\(2023^n +1≡0\;mod\;11\)
\(⇒(2024-1)^n +1≡0\;mod\;11\)
\(⇒(0-1)^n +1≡0\;mod\;11\)
\(⇒(-1)^n +1≡0\;mod\;11\)
Agar nilainya ekuivalen maka nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(n\) bilangan ganjil, karena nilai \(n<100\) maka nilai \(n\) yang memenuhi \(\{1, 3, 5, …,99\}\)

Jumlah semua bilangan \(n\) yang memenuhi adalah

\(1+3+5+…+99=\frac{(1+99)50}{2}=100(25)=2500\)

\(\frac{1}{𝑚}+\frac{1}{𝑛}=\frac{1}{2023}\)
\(⇒\frac{𝑛 + 𝑚}{𝑚𝑛}=\frac{1}{2023}\)
\(⇒𝑚𝑛 = 2023𝑛 + 2023𝑚\)
\(⇒𝑚𝑛 − 2023𝑚 − 2023𝑛 = 0\)
\(⇒(𝑚 − 2023)(𝑛 − 2023) − 2023^2 = 0\)
\(⇒(𝑚 − 2023)(𝑛 − 2023) = 2023^2 = (7 × 17^2)2 = 7^2 × 17^4\)

Banyak factor positif dari \(2023^2\) adalah \((2 + 1)(4 + 1) = 3(5) = 15\)
Jadi banyaknya bilangan bulat positif \((𝑚, 𝑛)\) sama dengan banyaknya factor positif dari \(2023^2\) yaitu \(15\) pasangan.

Nilai euler totient fungsi dari \(11\) adalah \(𝜑(11) = 11(1 −\frac{1}{11}) = 10\)
\(2023^{2023}\; mod\; 𝜑(11) ≡ 2023^{2023\; mod\; 10} ≡ 3^3 mod\; 10 ≡ 7\)
Selanjutnya
\(\begin{align}
{2023^{2023}}^{2023} mod\; 11& ≡ 2023^7 mod\; 11\\
&≡ 10^7 mod\: 11\\
&≡ (−1)^7 mod\; 11\\
&≡ −1\; mod\; 11\\
&≡ 10\\
\end{align}\)

\(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) memiliki paritas yang sama yaitu keduanya ganjil atau keduanya genap, maka kemungkinan pasangan \((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((2023, 1), (289, 7)\), dan \((119,17)\).

Kemungkinan 1
\(𝑎 + 𝑏 = 2023\)
\(𝑎 − 𝑏 = 1\)
_______________+
\(2𝑎 = 2024 ⇒ 𝑎 = 1012\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 1\) , maka nilai \(𝑏 = 1011\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011)\)

Kemungkinan 2
\(𝑎 + 𝑏 = 289\)
\(𝑎 − 𝑏 =7\)
_______________+
\(2𝑎 = 296 ⇒ 𝑎 = 148\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 7\) , maka nilai \(𝑏 = 141\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((148,141)\)

Kemungkinan 3
\(𝑎 + 𝑏 = 119\)
\(𝑎 − 𝑏 = 17\)
_______________+
\(2𝑎 = 136 ⇒ 𝑎 = 68\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 17\) , maka nilai \(𝑏 = 51\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((68,51)\)
𝐽𝑎𝑑𝑖 semua pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011), (148,141)\),dan \((68,51)\)

\(2021 × 20222022 × 202320232023 − 2023 × 20212021 × 202220222022\)
\(= 2021 × (20220000 + 2022) × (202300000000 + 20230000 + 2023) − 2023 ×(20210000 + 2021) × (202200000000 + 20220000 + 2022)\)
\(= 2021 × 2022(10000 + 1) × 2023(100000000 + 10000 + 1) − 2023 × 2021(10000 + 1) ×2022(100000000 + 10000 + 1)\)
\(= 2021 × 2022 × 10001 × 2023 × 100010001 − 2023 × 2021 × 10001 × 2022 × 100010001\)
\(= 0\)

Dengan menggunakan euler totient function

\(𝜑(50) = 50 (1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{5}) = 50 (\frac{1}{2})(\frac{4}{5}) = 20\)

Selanjutnya

\(6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 𝜑(50)} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 20} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^3\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 = 216\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 16\)

\(𝑎 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑥 − 2}⇒ 𝑥 − 2 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}\)\(⇒𝑥 − 1=\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑎}\)\(⇒\frac{1}{𝑥 − 1}=\frac{𝑎}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)

dengan cara yang sama diperoleh

\(𝑏 =\frac{𝑐 + 𝑎}{𝑦 − 2}⇒\frac{1}{𝑦 − 1}=\frac{𝑏}{𝑐 + 𝑎 + 𝑏}\)
\(𝑐 =\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑧 − 2}⇒\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)
Jumlahkan ketiga persamaan, diperoleh

\(\frac{1}{𝑥 − 1}+\frac{1}{𝑦 − 1}+\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}= 1\)
\(⇒\frac{(𝑦 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)}{(𝑥 − 1)(𝑦 − 1)(𝑧 − 1)}= 1\)
\(⇒𝑦𝑧 − 𝑦 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑧 − 𝑥 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1\)
\(⇒(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) − 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 3 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 1\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 4\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(101) − 3(2023) + 4 = −5863\)

\(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}= 2023^{2023.2023^{2023}} = (2023^{2023})^{2023^{2023}}\)
Jadi nilai \(x\) nya adalah \(2023^{2023}\)

23. The value of :
\(\frac{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}−\frac{1}{4}}×\frac{\frac{1}{4}−\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}−\frac{1}{6}}×\frac{\frac{1}{6}−\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}−\frac{1}{8}}×…×\frac{\frac{1}{2020}−\frac{1}{2021}}{\frac{1}{2021}−\frac{1}{2022}}×\frac{\frac{1}{2022}−\frac{1}{2023}}{\frac{1}{2023}−\frac{1}{2024}}\)
is …

---

Solution

---

24. Given \((1 + 𝑂)(1 + 𝑆)(1 + 𝑁) = 2023\) with \(O, S,\) and \(N\) are positive integers. Find the value of \(𝑂 × 𝑆 × 𝑁\) is …

---

Solution

---

25. Find the \(2023^{𝑡ℎ}\) digit after the decimal in \(\frac{5}{7}\)

---

Solution

---

26. Tentukan nilai dari

\(\frac{2023}{2023^2−2022×2024}\)

---

Solution

---

 

\(26 = 𝑛𝑎 + 2\)
\(𝑛𝑎 = 24, 𝑛 > 2\) karena bersisa \(2\)
Nilai \(n\) yang memenuhi \(𝑛 = {3, 4, 6, 8, 12, 24}\)
Jumlah nilai \(𝑛 = 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 57\)

\(𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 12\)
\(𝑎, 𝑏\) dan \(𝑐\) bilangan satu digit karena harus memenuhi bilangan tiga digit \(\overline{abc}\).

• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,2,6)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,3,4)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (2,2,3)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk \(=\frac{3!}{2!}= 3\)

Jadi banyak bilangan yang terbentuk ada \(6 + 6 + 3 = 15\)

Misal \(𝑎 = 33𝑥\) dan \(𝑏 = 33𝑦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli
saling prima.
\(𝑎 + 𝑏 = 33𝑥 + 33𝑦 = 528\)
\(= 𝑥 + 𝑦 = 16\)
Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\)
Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\)
dan \((7,9)\). Jadi banyaknya pasangan \((𝑎, 𝑏)\) ada \(4\)

\(\frac{𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+⋯+𝑥_8}{8}= 99 ⟹ 𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_8 = 792 … (1)\)
Misalkan bilangan terbesarnya adalah \(𝑥_8\) dan \(𝑥_7\), maka \(𝑥_8 − 𝑥_7 = 18\)
Rata-rata bilangan sisanya:
\(\frac{𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+⋯+𝑥_6}{6}= 87\) ⟹ \(𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_6 = 522 … (2)\)
Subtitusi persamaan \((2)\) ke pers \((1)\) diperoleh
\(522 + 𝑥_7 + 𝑥_8 = 792\)
\(𝑥_7 + 𝑥_8 = 270\)
Eliminasi \(𝑥_8 − 𝑥_7 = 18\) dan \(𝑥_7 + 𝑥_8 = 270\), diperoleh \(𝑥_8 = 144\)

Gunakan sifat sudut bersebrangan dalam maka diperoleh
\((90 − 2𝑥)° + (180 − (3𝑥 + 10))° = (50 + 𝑥)°\)
\(⇒90 − 2𝑥 + 170 − 3𝑥 = 50 + 𝑥\)
\(⇒260 − 5𝑥 = 50 + 𝑥\)
\(⇒310 = 6𝑥\)
\(⇒𝑥 = 350\)

\(\overline{xy}= 10𝑥 + 𝑦\)
\(\overline{xy}= 7(𝑥+y) + 3\)
\(10𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 7𝑦 + 3\)
\(3𝑥 = 6𝑦 + 3\)
\(𝑥 = 2𝑦 + 1\)
Karena \(𝑥 = 𝑦 + 3\), maka \(𝑦 + 3 = 2𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2\) dan \(𝑥 = 5\), jadi \(𝑥 + 𝑦 = 7\).

Tinggi \(A\) mula-mula \(= A\)
Tinggi \(B\) mula-mula \(= B\)
Setelah 3 jam kedua lilin memiliki tinggi yang sama
\((𝐴 −\frac{3}{11}𝐴) = (𝐵 −\frac{3}{7}B)\)
\(\frac{8}{11}𝐴 =\frac{4}{7}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{44}{56}=\frac{11}{14}\)
Jadi rasio tinggi mula-mula adalah \(11 : 14\)

Pohon pertama tumbuh 3 cm setiap 2 bulan artinya dalam 6 bulan tumbuh 9 cm. pohon kedua 5 cm setiap 6 bulan. Dengan menggunakan tabel

Jadi kedua pohon memiliki tinggi yang sama pada bulan ke 54

\(𝐴 = 𝐾𝑃𝐾(5,6,8,9,12)𝑛 + 1 = 13𝑚\)
\(⇒𝐴 = 360𝑛 + 1 = 13𝑚\)
\(⇒360𝑛 + 1 = 0 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒360𝑛 = −1 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒9𝑛 = 12\; 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒27𝑛 = 36\; 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒𝑛 = 10\)
\(⇒𝐴 = 3601\)

\(𝐵 = 𝐾𝑃𝐾(12,18,21,28)𝑚 + 3 = 252𝑚 + 3\)
Karena \(B\) bilangan \(4\) digit terbesar maka nilai \(𝑚 = 39\)
Jadi \(B\) terbesar \(4\) digit adalah \(9828+3 = 9831\)

Jadi nilai \(B – A\) adalah \(9831 – 3601 = 6230\)

\(\frac{1}{15}=\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}\)
\(\frac{1}{15}=\frac{a+b}{𝑎b}\)
\(ab=15a+15b\)
\(ab-15a-15a=0\)
\((a-15)(b-15)-225=0\)
\((a-15)(b-15)=225=1×225=3×75=5×45=9×25\)

dari persamaan di atas diperole 4 kemungkinan nilai \((a,b)\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(3𝑛\) dan \(7𝑛\), Jika \(21\) ditambahkan ke masing-masing bilangan maka

\(\frac{3𝑛 + 21}{7𝑛 + 21}=\frac{1}{3}\)
\(⇒ 3(3𝑛 + 21) = 7𝑛 + 21\)
\( ⇒ 9𝑛 + 63 = 7𝑛 + 21\)
\(⇒ 2𝑛 = −42 \)
\(⇒ 𝑛 = −21\)

jadi selisih kedua bilangan adalah \(3𝑛 − 7𝑛 = −4𝑛 = −4(−21) = 84\).

Karena saling mengunjungi maka banyak kunjungan maksimum adalah

\(2{10\choose 2}=2\left(\frac{10!}{8! 2!}\right) = 2(45) = 90\)

Jadi banyak junjungan maksimum ada 90 kunjungan.

\(\frac{3^2 + 1}{3^2 − 1}+\frac{5^2 + 1}{5^2 − 1}+\frac{7^2 + 1}{7^2 − 1}+ ⋯ +\frac{99^2 + 1}{99^2 − 1}\)
\(=\frac{3^2 − 1 + 2}{3^2 − 1}+\frac{5^2 − 1 + 2}{5^2 − 1}+\frac{7^2 − 1 + 2}{7^2 − 1}+ ⋯ +\frac{99^2 − 1 + 2}{99^2 − 1}\)
\(=\frac{3^2 − 1}{3^2 − 1}+\frac{2}{3^2 − 1}+\frac{5^2 − 1}{5^2 − 1} + \frac{2}{5^2 − 1}+\frac{7^2 − 1}{7^2 − 1}+\frac{2}{7^2 − 1}+ ⋯ +1+\frac{2}{99^2 − 1}\)
\(=1+\frac{2}{3^2 − 1}+ 1 + \frac{2}{5^2 − 1}+ 1 +\frac{2}{7^2 − 1}+ ⋯ + 1 +\frac{2}{99^2 − 1}\)
\(= 49 + \left(\frac{2}{2 × 4}+\frac{2}{4 × 6}+\frac{2}{6 × 8}+ ⋯ +\frac{2}{98 × 100}\right)\)
\(= 49 + \left(\frac{1}{2}−\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}−\frac{1}{8}+ ⋯ +\frac{1}{98}−\frac{1}{100}\right)\)
\(= 49 +\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{100}\right) = 49 +\frac{49}{100}\)
\(= 49 + 0,49 = 49,49\)

\(𝑛 = 2𝑎 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 2𝑎 − 2 = 2(𝑎 − 1)\)
\(𝑛 + 1 = 3𝑏 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 3𝑏 − 3 = 3(𝑏 − 1)\)
\(𝑛 + 2 = 4𝑐 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 4𝑐 − 4 = 4(𝑐 − 1)\)
\(𝑛 + 3 = 5𝑑 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 5𝑑 − 5 = 5(𝑑 − 1)\)
\(𝑛 + 4 = 6𝑒 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 6𝑒 − 6 = 6(𝑒 − 1)\)
\(𝑛 + 6 = 8𝑓 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 8𝑓 − 8 = 8(𝑓 − 1)\)
\(𝑛 − 2 = 𝐾𝑃𝐾(2, 3, 4, 5, 6, 8). 𝑘, 𝑘\) bilangan cacah.
bilangan keempat diperoleh ketika nilai \(𝑘=3\) 

\(𝑛 − 2 = 𝐾𝑃𝐾(2,3,4,5,6,8). 3 ⇒ 𝑛 = 120(3) + 2 = 360 + 2 = 362\)

\(\frac{5}{𝑎}= 𝑏 + 𝑐 ⇒ 5 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐\)
\(\frac{10}{𝑏}= 𝑐 + 𝑎 ⇒ 10 = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏\)
\(\frac{13}{𝑐}= 𝑎 + 𝑏 ⇒ 13 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐\)
jumlahakan ketiga persamaan, diperoleh
\(2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) = 28\)
\(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 14\)
Nilai \(𝑎𝑏 = 14 − 13 = 1, 𝑏𝑐 = 14 − 5 = 9\), dan \(𝑎𝑐 = 14 − 10 = 4\)
Kalikan nilai \(𝑎𝑏, 𝑏𝑐\) dan \(𝑎𝑐\)

\(𝑎𝑏. 𝑎𝑐. 𝑏𝑐 = 1.9.4\)
\(⇒𝑎^2𝑏^2𝑐^2 = 36\)
\(⇒𝑎𝑏𝑐 = \sqrt{36} = 6\)

Jadi nilai dari \(𝑎𝑏𝑐 = 6\)

Luas daerah berwarna putih sama dengan 2 kali luas persegi dikurang luas berwarna kuning yaitu \(2(16) − 27 = 32 − 27 = 5\) 𝑐𝑚².
Jadi luas daearah berwarna orange sama dengan luas persegi kurangi luas daerah berwarna putih yaitu \(16 – 5 = 11\) 𝑐𝑚²

\((2^3)^4 = (2^6)^2 = (64)^2\)
\((3^2)^4 = (3^4)^2 = (81)^2\)
\((4^2)^3 = (4^3)^2 = (64)^2\)
Yang terbesar adalah \((81)^2\), jadi nilai maksimum \(n\) adalah \(6561\)

Bilangan dua digit : \(\{10, 11, 12, …, 99\}\), banyaknya ada \(90\) bilangan.
Bilangan dua digit yang jumlah digitnya \(5\) yaitu \(50, 23, 32, 14, 41\) ada \(5\) bilangan.
Jadi peluangnya adalah \(\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\)

\(\overline{ab} −\overline{cn}+\overline{cn} −\overline{db} = 40+50\)
\(\overline{ab} +\overline{db}=90\)
selanjutnya
\(\overline{abdb} +\overline{dbab}\)
\(= 100\overline{ab} + \overline{db} +100\overline{db} + \overline{ab}\)
\(= 101\overline{ab}+ 101\overline{db}\)
\(= 101(\overline{ab}+\overline{db})\)
\(= 101(90) = 9090\)
Jadi jumlah digitnya adalah \(9 + 0 + 9 + 0 =18\)

Syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digitnya kelipatan 9.
Bilangan terkecil 7 digit adalah 1234567 jumlah digitnya 28, bilangan terbesar 7 digit adalah
9876543 jumlah digitnya adalah 42, artinya bilangan 7 digit yang habis dibagi 9 jumlah digitnya
adalah 36.
Kombinasi bilangan 7 digit yang mungkin adalah 1236789, 1245789, 1345689, 2345679.
Selanjutnya kita cek banyak susunan bilangan 7 digit tersebut dengan syarat angka genap
tidak boleh ditempatkan di satuan, artinya terdapat 4 angka ganjil yang dapat ditempatkan
pada posisi satuan, banyak cara adalah 6.5.4.3.2.1.4 = 6!.4 cara.
Karena ada 4 kombinasi bilangan yang dapat dibagi 9, maka banyak cara menyusun bilangan 7 angka tersebut adalah 4. 6!. 4 = 11520

\((2𝑛 + 1) + (2𝑛 + 3) + (2𝑛 + 5) + … + (2𝑛 + 47) = 5280\)
\(⟹ 2𝑛(24) + (1 + 3 + 5 + ⋯ + 47) = 5280\)
Jumlah \(𝑛\) bilangan ganjil adalah \(𝑛^2\)
\(⟹ 2𝑛(24) + 24^2 = 5280\)
\(⟹ 48𝑛 + 576 = 5280\)
\(⟹ 48𝑛 = 5280 − 576\)
\(⟹ 48𝑛 = 4704\)
\(⇒ 𝑛 = 98\)
Jadi nilai dari
\(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 =\frac{98(1 + 98)}{2}= 4851\)

\(𝑥𝑦 + 8𝑥 + 𝑦 = 83\)
\((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) − 8 = 83\)
\((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) = 91\)
Pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yang memenuhi adalah \((−91, −1), (−1, −91), (−13, −7), (−7, −13), (91,1), (1,91), (13,7), (7,13)\)
Banyak pasangan \((𝑥, 𝑦)\) sama dengan banyaknya pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yaitu ada \(8\) pasangan.

Atau banyaknya pasangan bilangan bulat \((x,y)\) dapat diperoleh dari banyaknya factor positif dari \(91\)
kemudian dikalikan dua. Banyak factor positif dari \(91\) ada \(4\), Jadi banyaknya pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \(4 × 2 = 8\) pasangan

Menggunakan sifat segiempat tali busur.
Dari perpotongan diagonal persegi kita dapatkan \(∠𝐴𝑂𝐵 = 90°\). Akibatnya segiempat \(𝐴𝐵𝐸𝑂\) adalah segiempat tali busur.
Dari sifat segiempat tali busur, karena \(∠𝐴𝐵O\) dan \(∠𝐴𝐸𝑂\) menghadap busur yang sama maka
\(∠𝐴𝐵O=∠𝐴𝐸𝑂=45°\)

Misalkan
\(𝑎 = 0,044 ⇒ 10𝑎 = 0,44\)
\(𝑏 = 0,006 ⇒ 10𝑏 = 0,06\)
\(𝑐 = 0,0024 ⇒ 10𝑐 = 0,024\)
Diperoleh
\(\frac{(0,44)^2 + (0,06)^2 + (0,024)^2}{(0,044)^2 + (0,006)^2 + (0,0024)^2}\)
\(=\frac{(10𝑎)^2 + (10𝑏)^2 + (10𝑐)^2}{(𝑎)^2 + (𝑏)^2 + (𝑐)^2}\)
\(=\frac{100𝑎^2 + 100𝑏^2 + 100𝑐^2}{𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2}\)
\(=\frac{100(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2)}{𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2}\)
\(= 100\)

• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 0, pukul 00.00 ada 1
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 1, angka pada jam yaitu (01, 10) dan
  angka pada menit yaitu (01, 10), banyak kemungkinan ada 4
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 2, angka pada jam yaitu (02, 11, 20) dan angka pada menit yaitu (02, 11, 20), banyak kemungkinan ada 9
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 3, angka pada jam yaitu (03, 12, 21) dan angka pada menit yaitu (03, 12, 21, 30), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 4, angka pada jam yaitu (04, 13, 22) dan angka pada menit yaitu (04, 13, 22, 31, 40), banyak kemungkinan ada 15
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 5, angka pada jam yaitu (05, 14, 23) dan angka pada menit yaitu (05, 14, 23, 32, 41, 50), banyak kemungkinan ada 18
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 6, angka pada jam yaitu (06, 15) dan angka pada menit yaitu (06, 15, 24, 33, 42, 51), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 7, angka pada jam yaitu (07, 16) dan angka pada menit yaitu (07, 16, 25, 34, 43, 52), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 8, angka pada jam yaitu (08, 17) dan angka pada menit yaitu (08, 17, 26, 35, 44, 53), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 9, angka pada jam yaitu (09, 18) dan angka pada menit yaitu (09, 18, 27, 36, 45, 54), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 10, angka pada jam yaitu (19) dan angka pada menit yaitu (19, 28, 37, 46, 55), banyak kemungkinan ada 5

Jadi banyaknya semua kemungkinan adalah
1 + 4 + 9 + 12 + 15 + 18 + 12 + 12 + 12 + 12 + 5 = 112

Karena nilai \(a\) adalah akar dari \(f(x)\) maka \(𝑓(𝑎) = 0 ⇒ 𝑎^2 + 4𝑎 + 21 = 0\)
Selanjutnya
\(𝑎^4 − 𝑎^3 + 𝑎^2 = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎2(𝑎2 − 𝑎 + 1) = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎^2(−4𝑎 − 21 − 𝑎 + 1) = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎(−5𝑎 − 20) = 𝑛\)
\(⇒ −5𝑎(𝑎 + 4) = 𝑛\)
\(⇒ −5(𝑎^2 + 4𝑎) = 𝑛\)
\(⇒ −5(−21) = 𝑛\)
\(⇒ 𝑛 = 105\)

\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1870 … (1)\)
\(𝑏 + 50\%𝑐 = 𝑐 + 80\%𝑏 …(2)\)
\(𝑎 = 30\%𝑏 …(3)\)
Dari persamaan \((2)\)
\(𝑏 − 0,8𝑏 = 𝑐 − 0,5𝑐\)
\(0,2𝑏 = 0,5𝑐\)
\(2𝑏 = 5𝑐\)
Diperoleh perbandingan \(𝑏: 𝑐 = 5 ∶ 2\).
Dari persamaan \((3)\)
\(𝑎 = 30\%𝑏 ⇒ 10𝑎 = 3𝑏 ⇒ 𝑎: 𝑏 = 3 ∶ 10\)
Karena \(𝑏: 𝑐 = 5: 2\) dan \(𝑎: 𝑏 = 3 ∶ 10\) maka perbandingan \(𝑎: 𝑏: 𝑐 = 3 ∶ 10 ∶ 4\)
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑐 =\frac{3+4}{3+10+4}(1870) =\frac{7}{17}(1870) = 770\)

9 ada 1
91, 19 ada 2
911, 191, 119 ada 3
9111, 1911, 1191, 119 ada 4
Berdasarkan pola di atas, terlihat bahwa bilangan 1 digit ada 1, 2 digit ada 2, 3 digit ada 3 dan seterusnya.

Karena 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45, maka suku ke-45 berada pada barisan akhir yang banyak angkanya ada 9 yaitu 111111119

Kalikan pembilanganya dengan \(10^{2023}\), nilainya tidak mengubah nilai ujung kanan tak nol dari
\(\frac{1}{2^{2023}}\) Hasilnya adalah

\(\frac{10^{2023}}{2^{2023}} = 5^{2023}\)

Karena \(5^{2023} mod\; 10 ≡ 5\), maka dapat disimpulkan bilangan ujung kanan pada decimal expantion
dari \(\frac{1}{2^{2023}}\) adalah \(5\).

---

30. Find the value of \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒\) given \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒\) are real numbers satisfying the following equations:

\(𝑎^2 = 2𝑒 + 23\)
\(𝑏^2 = 10𝑎 − 34\)
\(𝑐^2 = 8𝑏 − 23\)
\(𝑑^2 = 6𝑐 − 14\)
\(𝑒^2 = 4𝑑 − 7\).

---

Solution

Jumlahkan kelima persamaan di atas

\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 𝑑^2 + 𝑒^2 = 10𝑎 + 8𝑏 + 6𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 − 55\)
\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 𝑑^2 + 𝑒^2 − 10𝑎 − 8𝑏 − 6𝑐 − 4𝑑 − 2𝑒 + 55 = 0\)
\((𝑎 − 5)^2 − 25 + (𝑏 − 4)^2 − 16 + (𝑐 − 3)^2 − 9 + (𝑑 − 2)^2 − 4 + (𝑒 − 1)^2 − 1 + 55 = 0\)
\((𝑎 − 5)^2 + (𝑏 − 4)^2 + (𝑐 − 3)^2 + (𝑑 − 2)^2 + (𝑒 − 1)^2 = 0\)

diperoleh \(𝑎 = 5, 𝑏 = 4, 𝑐 = 3, 𝑑 = 2\) dan \(𝑒 = 1\)

Jadi jumlah dari \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55\)

Untuk memastikan mendapatkan 5 bola bernomor satu maka terlebih dahulu menghabiskan bola yang diada di keranjang bernomor 2, 3, 4 dan 5, banyak pengambilan ada 27(4) = 108. Setelah itu dilanjutnya mengambil 5 bola di keranjang bernomor 1. Jadi banyak pengambilan minimal sehingga dipastikan mendapat bola bernomor 5 adalah 108 + 5 = 113 pengambilan.

Karena kedua garis berpotongan di titik \((16, 27)\) maka memenuhi
\(𝑦 =\frac{5}{4}𝑥 + 𝑚 ⇒ 𝑚 = 𝑦 −\frac{5}{4}𝑥 = 27 −\frac{5}{4}(16) = 27 − 20 = 7\)
dan
\(𝑦 =\frac{3}{2}𝑥 + 𝑛 ⇒ 𝑛 = 𝑦 −\frac{3}{2}𝑥 = 27 −\frac{3}{2}(16) = 27 − 24 = 3\)
Jadi nilai \(𝑚 + 𝑛 = 7 + 3 = 10\)

\(((𝑥 + 2𝑦) + 4)^8 = {8\choose 8}(𝑥 + 2𝑦)^84^0 + {8\choose 7}(𝑥 + 2𝑦)^74^1 + ⋯ + {8\choose 0}(𝑥 + 2𝑦)^04^8\)
Bagian \(𝑥^5𝑦^2\) muncul di expansi \({8\choose 7}(𝑥 + 2𝑦)^74^1\).

\((𝑥 + 2𝑦)^7 = {7\choose 7}𝑥^7 + {7\choose 6}𝑥^6(2𝑦) + {𝟕\choose 𝟓}𝒙^𝟓(𝟐𝒚)^𝟐 + ⋯ + {7\choose 7}(2𝑦)^7\)

Jadi koefisien dari \(𝑥^5𝑦^2\) adalah \({8\choose 7}4{7\choose 5}2^2 = 2688\)

\(\sqrt{20475. 𝑥} = \sqrt{225(91)(𝑥)} = 15\sqrt{91𝑥}\)
Karena \(91\) tidak mempunyai factor kuadrat selain \(1\) maka nilai \(x\) yang memenuhi agar \(\sqrt{91𝑥}\) adalah
bilangan bulat adalah \(𝑥 = 91\)

Misalkan perpotongan AP dan DN adalah titik X, DM dan AP adalah titik Y dan DM dan AN adalah titik Z.

\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
\(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝑊𝑌 ≈ Δ𝐴𝐷𝑃\), maka berlaku perbandingan
\(\frac{𝑊𝑌}{𝐷𝑃}=\frac{𝐴𝑊}{𝐴𝐷}⇒ 𝑊𝑌 =\frac{2}{4}(2) = 1\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝐶𝑁, ∠𝐷𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐷𝑁, ∠𝐷𝐴𝑀 = ∠𝐷𝐶𝑁 = 90°, ∠𝐶𝑁𝐷 = ∠𝐷𝑃𝐴\).
Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃\) dan \(Δ𝐷𝑃𝑋\), karena \(∠𝑋𝐷𝑃 = ∠𝐷𝐴𝑃\) dan \(∠𝐷𝑃𝑋 = ∠𝐷𝑃𝐴\) maka \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝑋𝑃\),
akibatnya \(∠𝐴𝐷𝑃 = ∠𝐷𝑋𝑃 = 90°\), juga berlaku perbandingan
\(\frac{𝑃𝑋}{𝑋𝐷}=\frac{𝑋𝐷}{𝐴𝑋}=\frac{𝐷𝑃}{𝐴𝐷}=\frac{1}{2}\)
\(⇒ 4𝑃𝑋 = 𝐴𝑋 ⇒ 𝑃𝑋: 𝐴𝑋 = 1: 4\)
Dengan menngunakan rumus pythagoras
\(𝐴𝑃 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Panjang \(AX =\frac{4}{5}\sqrt{5}\),
panjang \(DX=\frac{1}{2}𝐴𝑋=\frac{1}{2}(\frac{4}{5}
\sqrt{5})=\frac{2}{5}\sqrt{5}\)
Jadi luas
\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
\(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) =

Misalkan
\(𝑛^2 + 24𝑛 + 16 = 𝑚^2\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 144 + 16 = 𝑚^2\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 𝑚^2 = 144 − 16\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 𝑚^2 = 128\)
\(⇒(𝑛 + 𝑚 + 12)(𝑛 − 𝑚 + 12) = 128\)
Karena \((𝑛 + 𝑚 + 12)\) 𝑑𝑎𝑛 \((𝑛 − 𝑚 + 12)\) memiliki paritas sama dan \((𝑛 + 𝑚 + 12)>(𝑛 − 𝑚 + 12)\) maka
\((𝑛 + 𝑚 + 12)(𝑛 − 𝑚 + 12) = 64 × 2 = 16 × 8 = 32 × 4\)
Nilai \(n\) maksimum dicapai ketika nilai
\(𝑛 + 𝑚 + 12 = 64\)
\(𝑛 − 𝑚 + 12 = 2\)
Jumlahkan kedua persamaan, diperoleh
\(2𝑛 + 24 = 66 ⇒ 2𝑛 = 42 ⇒ 𝑛 = 21\)
Jadi nilai \(n\) terbesar adalah \(21\)

\(\frac{\sqrt{𝑎^2 − 18}}{3}= 2 ⇒ \sqrt{𝑎^2 − 18} = 6 ⇒ 𝑎^2 − 18 = 36 ⇒ 𝑎^2 = 54\)
\(\sqrt{𝑏^2 − 98}{7}= 2 ⇒ \sqrt{𝑏^2 − 98} = 14 ⇒ 𝑏^2 − 98 = 196 ⇒ 𝑏^2 = 294\)
\(\frac{\sqrt{𝑐^2 − 32}}{4}= 2 ⇒ \sqrt{𝑐^2 − 32} = 8 ⇒ 𝑐^2 − 32 = 64 ⇒ 𝑐^2 = 96\)
Jadi nilai dari
\(\sqrt{𝑎^2 + 27} + \sqrt{𝑏^2 + 147} + \sqrt{𝑐^2 + 48}\)
\(= \sqrt{54 + 27} + \sqrt{294 + 147} + \sqrt{94 + 48}\)
\(= \sqrt{81} + \sqrt{441} + \sqrt{144} = 9 + 21 + 12 = 42\)

Dengan menggunakan rumus pyhtagoras diperoleh persamaan
\(𝑛^2 + 𝑚^2 = (𝑛 + 1)^2\)
\(𝑛^2 + 𝑚^2 = 𝑛^2 + 2𝑛 + 1\)
\(𝑚^2 = 2𝑛 + 1\)
\(2𝑛 = 𝑚^2 − 1\)
\(𝑛 =\frac{𝑚^2 − 1}{2}≤ 60\)
Kemungkinan nilai \(m\) adalah \(\{4, 12, 24, 40, 60\}\), jadi banyaknya segitiga yang terbentuk bergantung banyaknya nilai m yang memenuhi yaitu sebanyak \(5\) segitiga.

karena koefisien dari \(𝑦^2\) adalah \(-1\) maka kemungkinan
\((𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦 + 𝑑)\)
\(= 𝑥^2 − 𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦^2 + 𝑦𝑑 + 𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑏𝑑\)
\(= 𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑\)
Karena \(𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑 = 𝑥^2 − 𝑦^2 + 11𝑥 + 7𝑦 + 18\), maka diperoleh
\(𝑑 + 𝑏 = 11, 𝑑 − 𝑏 = 7\) dan \(𝑏𝑑 = 18\), nilai \(𝑏\) dan \(𝑑\) yang memenuhi adalah \(2\) dan \(9\).
Jadi nilai dari
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 + 2 − 1 + 9 = 11\)

\(2^𝑥 + 2^𝑦 = 20\)
\(2^𝑥 + 2^{6−𝑥} = 20\)
\(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20\)
Misalkan \(𝑎 = 2𝑥\), diperoleh
\(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20 ⇒ 𝑎 +\frac{64}{𝑎}= 20 ⇒ 𝑎^2 − 20𝑎 + 64 = 0 ⇒ (𝑎 − 16)(𝑎 − 4) = 0\)
Nilai 𝑎 yang memenuhi adalah \(4\) dan \(16\).
Untuk \(𝑎 = 4 ⇒ 2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2\)
Untuk \(𝑎 = 16 ⇒ 2𝑥 = 16 ⇒ 𝑥 = 4\)
Karena \(𝑥 + 𝑦 = 6\), maka pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((2,4)\) dan \((4,2)\)

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Belum tersedia

Dalam menjawab soal yang angkanya tidak diketahui, biasanya dimisalkan dulu dengan sebuah huruf. Misalkan bilangan Aku adalah \(A\)

\(3×A+16=31\)
\(3×A=31-16\)
\(3×A=15\)
\(=\frac{15}{3}=5\)

diperoleh bilangan Aku adalah 5, selanjutnya jika Aku dikali 3 lalu ditambah 100 maka Aku menjadi

\(5×3+100=15+100=115\)

(Anak-anak dengan kemampuan nalar baik, biasanya menggunakan cara coba-coba. Bapak/Ibu tetap harus dukung walaupun menggunakan cara coba-coba, sambil perlahan-lahan dilatih menggunakan cara)

setiap tambahan 7 hari, hari kembali keawal, contoh sekarang hari senin maka 7 hari lagi adalah hari senin atau 14 hari lagi hari senin.

Besok adalah hari selasa jadi hari ini adalah hari senin, kelipatan 7 terdekat dari 20 adalah 14, masih ada tersisa 6 hari lagi. Jadi 6 hari setelah hari senin adalah hari minggu.

Ahmad berjabat tangan dengan Zahid, Chandra dan Luqman, ada \(3\) jabat tangan
Zahid berjabat tangan dengan Chandra dan Luqman, ada \(2\) jabat tangan
Chandra berjabat tangan dengan Luqman, ada \(1\) jabat tangan

Jadi total jabat tangan adalah \(3+2+1=6\)

Misalkan bilangan genap terkecilnya adalah \(A\), bilangan genap selanjutnya adalah \(A + 2\) dan \(A + 4\). Jumlahkan ketiga bilangan tersebut

\(A + (A+2) + (A+4) = 24\) 
\(⇒3A+6=24\)
\(⇒3A=24-6\)
\(⇒3A=18\)
\(⇒A=6\)

\(𝑎\#𝑏=𝑎×𝑏−10\)
\(5\#6=5×6−10\)
\(5\#6=5×6−10=30-10=20\)

Supaya perhitungannya lebih mudah, kita kelompokkan bentuk pengurangan

\((10 – 5) + (15 – 10) + (25 – 20) + (30 – 25) + (40 – 35) + (50 – 45) + (70 – 65) \)
\(=5+5+5+5+5+5+5\)
\(=35\)

Poin Benar = \(14×5=70\)
Poin Salah = \(6×2=12\)

Jadi Nilai Fajar adalah \(70-12=58\)

ukuran ada 9

ukuran ada 3

Jadi total persegi ada 12 persegi

Dari keterangan gambar diperoleh

karena

= \(8\)

Jadi nilai dari  adalah \(8 + 8 + 8 = 24\)

Dua pohon berjarak 6 m, 
Tiga pohon berjarak (6 + 6) = 2 × 6 m,
Empat pohon berjarak (6 + 6 + 6) = 3 × 6 m
dst..

Jadi klo ada 60 pohon, jaraknya adalah (6 + 6 + 6 + … + 6) = 59 × 6 = 354 m

Jelas 3 gelang

Karna ada promosi maka 6 es krim dapat diperoleh dengan harga Rp5000,-. Dengan uang Rp35.000,- banyak es krim yang dapat diperoleh adalah 42 es krim. Tersisa Rp1.000,-, sisa uang ini masih bisa mendapatkan 1 es krim. Jadi paling banyak es krim yang dapat diperoleh adalah 43 es krim.

Bilangan genap yang dapat dibentuk adalah 12, 14, 24, 32, 34, dan 42 ada 6 bilangan berbeda tanpa pengulangan yang dapat dibentuk.

Membagi dua kayu membutuhkan satu kali potongan.
Membagi tiga kayu membutuhkan dua kali potongan. 
Membagi empat kayu membutuhkan tiga kali potongan.
Membagi lima kayu membutuhkan empat kali potongan.

Satu kali potongan membutuhkan 6 menit, karena untuk membagi lima kayu membutuhkan empat kali potongan, maka waktu yang dibutuhkan adalah 4 × 6 = 24 menit.

\(\left(\frac{3}{1-\frac{1}{4}}+\frac{\frac{3}{4}-1}{3}\right)×12\)
\(=\left(\frac{3}{\frac{3}{4}}+\frac{-\frac{1}{4}}{3}\right)×12\)
\(=\left(4-\frac{1}{12}\right)×12\)
\(=\left(\frac{47}{12}\right)×12\)
\(=47\)

Syarat habis bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah angka-angkanya habis dibagi 9, karena \(A2023B\) habis dibagi 9, maka

\(A+2+0+2+3+B=A+B+7\)

Bilangan kelipatan 9 terdekat dari \(A+B+7\) adalah 9 dan 18, jadi bilangan yang mungkin untuk \(A+B\) adalah \(2\) atau \(11\)

KPK(3, 6, 9) = 18
Bilangan antara 1998 dan 2020 yang habis 18  adalah 2016, karena tahun kelahiran Amir dibagi 18 bersisa 2, maka tahun kelahiran Amir adalah 2016+2=2018

Misalkan banyak kayu Ana, Bani dan Caca adalah \(A, B\) dan \(C\)

\(A + B = 120\)
\(B + C = 60\)
\(A + C = 70\)

Jumlahkan ketiga persamaan, diperoleh

\(2A+2B+2C=250\)
\(2(A+B+C)=250\)
\(A+B+C=\frac{250}{2}=125\)

banyakkah stik kayu yang dimiliki oleh ketiganya adalah \(125\) kayu

misalkan panjang sisi persegi besar adalah \(b\) dan persegi kecil adalah \(k\), dari keterangan gambar diperoleh persamaan

\(2b+2k=32\) …(1)
\(3b+2k=44\) …(2)

kurangkan kedua persamaan, diperoleh \(b=12\)
ganti nilai \(b\) ke persamaan (1)

\(2(12)+2k=32\)
\(24+2k=32\)
\(2k=32-24\)
\(2k=8\)
\(k=4\)

Luas bangun di atas adalah \(4b^2 + 4k^2=4(12)^2 + 4(4)^2=4(144)+4(16)=576+64=640\) cm²

Panjang persegi panjang \(AB = 14\) cm

\(\begin{align}
\text{Luas A} &= [ABCD] – \text{Luas lingkaran}\\
&=14×14-πr^2\\
&=14×14-π7^2\\
&=196-49π\\
\end{align}\)

 

\(\begin{align}
\text{Luas B}&=πr^2\\
&=π(7)^2\\
&=49π\\
\end{align}\)

Jadi luas berwarna biru adalah \(A+B=196-49π+49π=196\ cm²\)

\(\begin{align}
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 𝑛^3 &= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)^2\\
&=1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 40^3\; mod\; 9\\
&= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 40)^2\; mod\; 9\\
&=\left(\frac{41(40)}{2}\right)^2\;mod\; 9\\
&= (41 × 20)^2\; mod\; 9\\
&= (5 × 2)^2\; mod\; 9\\
&= 100\; mod\; 9\\
&= 1\\
\end{align}\)

Dua angka pertama pada bilangan 3 digit tersebut adalah {20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97} Agar habis dibagi 9 dan genap maka bilangan terakhir yang harus di tambahkan sehingga memenuhi syarat adalah bilangan akhirnya genap dan jumlah digitnya habis dibagi 9.
Dengan melakukan observasi bilangan yang memenuhi adalah 648, 756, 864 dan 972. Jadi banyaknya bilangan yang memenuhi ada 4 bilangan.

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

Kurangkan persamaan awal dengan hasil \(\frac{1}{2}\) kali persamaan awal

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

\(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}+ ⋯ =\frac{1}{2}𝑝\)
_________________________________-
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+ ⋯ )=\frac{1}{2}p\)
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(\frac{\frac{2}{8}}{1−\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ \left(\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{1}{2}) =\frac{1}{2}𝑝\)

Kalikan kedua ruas dengan 4, diperoleh

\(2𝑝 = 2 + 3 + 2 = 7\)

Luas daerah yang tidak diarsir bagian \(A\) dan Bagian \(B\) adalah sama

\(\frac{1}{9}𝐴 =\frac{4}{15}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}\)

perbandingan luas daerah \(A\) terhadap luas daerah \(B\) adalah \(12 : 5\)

\(\begin{align}
3^{1990}\; mod\; 41 &= (3^4)^{497}. 3^2\; mod\; 41\\
&= (81)^{497}. 9\; mod\; 41\\
&= (−1)^{497}. 9 mod 41\\
&= -9\; mod\; 41\\
&= 32\\
\end{align}\)

\(\frac{𝑎}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑎}\)
\(=\frac{𝑎+𝑐}{𝑏}+\frac{𝑎+𝑏}{𝑐}+\frac{𝑏+𝑐}{𝑎}\)
\(=\frac{26−𝑏}{𝑏}+\frac{26−𝑐}{𝑐}+\frac{26−𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}-\frac{𝑏}{𝑏}+\frac{26}{𝑐}−\frac{𝑐}{𝑐}+\frac{26}{𝑎}−\frac{𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}− 1 +\frac{26}{𝑐}− 1 +\frac{26}{𝑎}− 1\)
\(= 26 (\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}) − 3\)
\(= 26(28) − 3\)
\(= 725\)

Terdapat \(9\) bilangan non negative, misalkan nilai mediannya adalah \(m\) (bilangan kelima) karena yang dicari nilai \(m\) maksimum maka \(4\) bilangan sebelum bilangan \(m\) adalah yang paling minimum yaitu \(0\), kemudian bilangan setelah \(m\) adalah \(m\) juga. Susunan bilangannnya adalah \(0, 0, 0, 0 , 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚\). Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{4(0) + 5𝑚}{9}= 10\)
\(⇒ 5𝑚 = 90\)
\(⇒ 𝑚 = 18\)

Jadi nilai median maksimum adalah \(18\)

banyak bilangan 4 digit yang salah satu digitnya muncul lebih dari sekali sama dengan banyaknya bilangan 4 digit dikurang dengan banyaknya bilangan 4 digit yang digitnya berbeda.
Banyaknya bilangan 4 digit ada 9000
Banyaknya bilangan 4 digit berbeda 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
Jadi banyak bilangan 4 digit yang memenuhi adalah 9000 – 4536 = 4464

Misalkan

\(𝑝 + 𝑞 = 𝑥^2 … (1)\)
\(𝑝 + 7𝑞 = 𝑦^2 … (2)\)

Kurangkan persamaan (2) dan (1), diperoleh

\(6𝑞 = 𝑦2 − 𝑥2 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥)\)

Karena \(6𝑞\) bilangan genap maka salah satu dari \(𝑦 − 𝑥\) atau \(𝑦 + 𝑥\) adalah genap. Jika \(y-x\) genap maka \(x\) dan \(y\) memiliki paritas sama sehingga dipastikan \(y+x\) genap. Karena keduanya genap maka \(6q\) adalah kelipatan \(4\).
Karena \(𝑞\) bilangan prima maka bilangan \(𝑞\) yang memenuhi hanya \(𝑞 = 2\).
Subtitusi \(q = 2\) ke persamaan

\(6𝑞 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥) = 12\)

Nilai yang memenuhi adalah
\(𝑦 + 𝑥 = 6\)
\(𝑦 − 𝑥 = 2\)
______________-
\(2𝑥 = 4\)
\(𝑥 = 2\)
Subtitusi nilai \(q\) dan \(x\) ke persamaan (1) diperoleh
\(𝑝 + 2 = 4 ⇒ 𝑝 = 2\)
Jadi banyaknya pasangan \(p\) dan \(q\) hanya \(1\) yaitu \((2,2)\)

Kalikan persaamaan \((1), (2), (3)\) dan \((4)\) dengan \(12, 6, 4\) dan \(3\)

\(24𝑥 + 12𝑦 + 12𝑧 + 12 𝑤 = 12\)
\(6𝑥 + 18𝑦 + 6𝑧 + 6𝑤 = 12\)
\(4𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 + 4𝑤 = 12\)
\(3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 + 15𝑤 = 75\).

Jumlahkan keempat persamaan

\(37𝑥 + 37𝑦 + 37𝑧 + 37𝑤 = 111\)
\(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 3 … (5)\)

Kurangkan persamaan \((4)\) dengan \((5)\)

\(4𝑤 = 22 ⇒ 𝑤 =\frac{11}{2}\)

Satu minggu = 7 hari, artinya setiap 7 hari harinya kembali ke awal.
100 hari dibagi 7 bersisa 2 hari. Jadi 2 hari setelah kamis adalah sabtu

Bilangan prima kurang dari \(20\) adalah \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\).
Jumlahnya adalah 

\(2+3+5+7+11+13+17+19=77\)

\(n=\frac{5}{6}(120)=100\) maka \(\frac{3}{4}×100=75\)

Polanya adalah jumlah bilangan selanjutnya diperoleh dari hasil penjumlahan 3 bilangan sebelumnya. Jadi \(A = 6 + 11 + 20 = 37\)

\(3^1\) satuannya \(3\)
\(3^2\) satuannya \(9\)
\(3^3\) satuannya \(7\)
\(3^4\) satuannya \(1\)
\(3^5\) satuannya \(3\) 

berulang setiap 4 kali, 555 dibagi 4 bersisa 3. Jadi angka satuan dari \(3^{555}\) sama dengan angka satuan dari \(3^{3}\) yaitu 7

\(121 × 49 = 𝐴^2\)
\(⇒11^2 × 7^2 = 𝐴^2\)
\(⇒77^2 = 𝐴^2\)
\(⇒77= 𝐴\)

Lengkapi garis pada persegi sehingga terbentuk 16 segitiga sama luas, dimana 3 diantaranya adalah segitiga terarsir.

luas daerah yang diarsir adalah \(\frac{3}{16}\)

angka – angka yang memuat angka 1 yaitu

\(1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 100\)

banyaknya ada 21 angka 1

rata-ratanya adalah

\(\frac{2+4+6+…+100}{50}=\frac{\frac{(102)50}{2}}{50}=\frac{102}{2}=51\)

---

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga merupakan tiga bilangan bulat berurutan. Bila keliling segitiga itu 186 cm, maka panjang sisi terpanjang dari segitiga itu adalah …

---

Solution

---

2. Berapakah hasil dari

\(\frac{1001^2−999^2}{101^2−99^2}\)

---

Solution

---

3. Ketika Susi dilahirkan, usia ibunya 20 tahun. Kapankah usia ibu Susi sama dengan Sembilan kali usia Susi?

---

Solution

---

4. Bilangan ratusan akan di bentuk dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Hitunglah banyaknya bilangan ganjil yang terbentuk dengan syarat tidak ada angka yang berulang!

---

Solution

---

5. Suatu bilangan \(5\) digit \(\overline{a679b}\) habis dibagi \(72\). Carilah bilangan tersebut!

---

Solution

---

6. Ada banyak bilangan 3 angka yang jika dibagi 7 dan 8 tidak bersisa. Berapakah bilangan terbesar dari bilangan-bilangan yang dimaksud?

---

Solution

---

7. Ada 3 bilangan bulat. Jika masing-masing bilangan itu dipasangkan akan didapat jumlah 11, 17 dan 22. Tentukan bilangan yang dimaksud.

---

Solution

---

8. Hitunglah jumlah 1000 bilangan ganjil pertama

---

Solution

---

9. Tentukan semua bilangan 3 digit kelipatan 9 yang lambangnya tidak terdapat bilangan ganjil.

---

Solution

---

10. Jika \(𝑥𝑦 = 1\), \(𝑦𝑧 = 4\) dan \(𝑥𝑧 = 9\), hitunglah nilai \(𝑥𝑦𝑧\)

---

Solution

---

11. Suatu bilangan \(5\) digit \(𝑎679𝑏\) habis dibagi \(72\). Carilah bilangan tersebut.

---

12. Nilai dari \(\sqrt{\frac{0,036}{0,9}}\)

---

13. If \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{𝑛}{12}= 2\), the value of \(𝑛\) is …

---

Solution

---

14. The lengths of the three sides of a triangle are \(7, 𝑥 + 4\), and \(2𝑥 + 1\). The perimeter of triangle is \(36\). What is the length of the longest side of the triangle.

---

Solution

---

15. Jika \(𝑝, 𝑞\) dan \(𝑟\) adalah bilangan bulat positif dan

\(𝑝 +\frac{1}{𝑞 + \frac{1}{𝑟}}=\frac{25}{19}\)

Carilah nilai dari \(𝑝 + 𝑞 + 𝑟\)?

---

16. Andi mengelilingi lapangan berbentuk trapezium sama kaki sebanyak 10 kali. Tinggi trapezium 120 m dan dua sisi yang sejajar panjangnya 250 m dan 150 m. Jarak yang ditempuh Andi adalah …

---

Solution

---

17. Bentuk sederhana dari

\((2 −\frac{1}{3})(2 −\frac{3}{5})(2 −\frac{5}{7}) … (2 −\frac{997}{999})\)

---

Solution

---

18. Dua bilangan mempunyai perbandingan 3 : 5. Bila kedua bilangan itu dikurangi 9 maka diperoleh perbandingan 12 : 23. Bilangan yang terbesar adalah …

---

Solution

---

19. Sebuah bilangan positif bila dikurangi 4 akan sama dengan 21 kali kebalikan bilangan itu. Bilangan tersebut adalah…

---

Solution

---

20..Gula jenis A harganya Rp 13.000,- per kg sedangkan gula jenis B harganya Rp 10.000,- per kg. Seorang penjual mencampur gula jenis A dan jenis B dengan komposisi gula jenis A dan jenis B adalah 1 : 2. Penjual itu menjual kembali gula campuran dengan harga Rp 12.000,- per kg. Tentukan besarnya modal berupa uang yang harus disiapkan untuk membeli gula agar si penjual mendapat untung sebesar Rp 24.000,-.

---

Solution

---

21. Jika didefinisikan \(𝑚\#𝑛 =\frac{𝐾𝑃𝐾\; 𝑑𝑎𝑟𝑖\; 𝑚\; 𝑑𝑎𝑛\; 𝑛}{𝐹𝑃𝐵\; 𝑑𝑎𝑟𝑖\; 𝑚\; 𝑑𝑎𝑛\; 𝑛}\)
, maka hasil dari \((20\#15)\#14\) adalah ….

---

Solution

---

22. Berapa banyak bilangan bulat pangkat tiga diantara 3374 dan 1000000?

---

Solution

---

23. Find the value of:
\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 − 11 − 12 − 13 − 14 − 15 − 16 − 17 − 18 − 19 −20\)
\( + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 − ⋯ − 100\)?

---

Solution

---

24. The value of :
\(\frac{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}−\frac{1}{4}}×\frac{\frac{1}{4}−\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}−\frac{1}{6}}×\frac{\frac{1}{6}−\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}−\frac{1}{8}}×…×\frac{\frac{1}{2020}−\frac{1}{2021}}{\frac{1}{2021}−\frac{1}{2022}}×\frac{\frac{1}{2022}−\frac{1}{2023}}{\frac{1}{2023}−\frac{1}{2024}}\)
is …

---

Solution

---

25. Aan mencari semua bilangan empat angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 2016. Banyak bilangan yang ditemukan Aan sebanyak ….

---

Solution

Dengan menggunakan jumlah sifat sudut pada segitiga

Sudut \(56°\) dan \(𝑥°\) membentuk sudut setengah putaran, maka
\(56° + 𝑥° = 180°\)
\(𝑥° = 180° − 56° = 124°\)
Jadi nilai \(x\) adalah \(124°\)

Untuk \(1 + 𝑂 = 1 + 𝑆 = 1 + 𝑁 = 1\) tidak memenuhi karena menyebabkan \(O, S\) dan \(N\)
bernilai \(0, 0\) bukan bilangan bulat positif, maka yang memenuhi
\((1 + 𝑂)(1 + 𝑆)(1 + 𝑁) = 2023 = 7 × 17 × 17\)
Diperoleh \(𝑂 = 6, 𝑆 = 16\) dan \(𝑁 = 16\)
Jadi nilai dari \(𝑂 × 𝑆 × 𝑁 = 6 × 16 × 16 = 1536\)

\(50^2 − 49^2 = (50 + 49)(50 − 49) = (50 + 49)(1) = 50 + 49\)
\(48^2 − 47^2 = (48 + 47)(48 − 47) = (48 + 47)(1) = 48 + 47\)
\(46^2 − 45^2 = (46 + 45)(46 − 45) = (46 + 45)(1) = 46 + 45\)
…
…
…
\(2^2 − 1^2 = (2 + 1)(2 − 1) = (2 + 1)(1) = 2 + 1\)
Jadi nilai dari
\(50^2 − 49^2 + 48^2 − 47^2 + 46^2 − 45^2 + ⋯ + 2^2 − 1^2\)
\(= (50 + 49 + 48 + ⋯ + 2 + 1)\)
\(=\frac{(50 + 1)50}{2}\)
\(=\frac{(51)50}{2}\)
\(= (51)25 = 1275\)

Misalkan bilangan prima tersebut adalah 2, 3 dan 5. Hasil kalinya adalah 30, factor dari 30 adalah {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} banyaknya ada 8 faktor.

\(\frac{5}{7}= 0,714285714285 ….\)

Angka setelah koma berulang tiap \(6\) angka, karena

\(2023\; 𝑚𝑜𝑑\; 6 ≡ 1\)

Jadi angka ke-2023 setelah koma adalah 7

Persamaan harga
\(2000𝑗 + 3000𝑚 + 4000𝑠 = 19000\)
\(2𝑗 + 3𝑚 + 4𝑠 = 19\)
Persamaan banyaknya buah
\(𝑗 + 𝑚 + 𝑠 = 8\)
selanjutnya
\(2𝑗 + 3𝑚 + 4𝑠 = 19\)
\(2𝑗 + 2𝑚 + 2𝑠 + 𝑚 + 2𝑠 = 19\)
\(2(𝑗 + 𝑚 + 𝑠) + 𝑚 + 2𝑠 = 19\)
\(𝑚 + 2𝑠 = 3\)
Nilai \(m\) dan \(s\) yang memenuhi adalah \(𝑚 = 1\) dan \(𝑠 = 1\)
Karena \(𝑗 + 𝑚 + 𝑠 = 8\) maka nilai \(𝑗 = 6\)

Luas \(X = 4 × 4 −\frac{1}{4}𝜋(4^2) = 16 −\frac{1}{4}(3,14)(16) = 16 − 12,56\ 𝑐𝑚^2\)

Luas daerah arsiran = Luas segitiga \(ABC\) – Luas \(X\)
\(=\frac{1}{2}(8)(4) − (16 − 12,56)\)
\(= 16 − 16 + 12,56\)
\(= 12,56\ 𝑐𝑚^2\)

\(9800 = 98 × 100 = 14 × 7 × 10 × 10 = 2 × 7 × 7 × 2 × 5 × 2 × 5 = 2^3 × 5^2 × 7^2\)
Diperoleh nilai \(A, B\) dan \(C\) adalah \(3, 2\), dan \(2\). Jadi nilai dari \(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 3 + 2 + 2 = 7\)

misalkan \(2023 = 𝑎\)

\(\frac{2023}{2023^2 − 2022 × 2024}\)
\(=\frac{2023}{2023^2 − (2023 − 1)× (2023 + 1)}\)
\(=\frac{𝑎}{𝑎^2 − (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)}\)
\(=\frac{𝑎}{𝑎^2 − (𝑎^2 − 1)}\)
\(=\frac{𝑎}{𝑎^2 − 𝑎^2 + 1}\)
\(=\frac{𝑎}{1}= 𝑎 = 2023\)

Perbandingan \(L : P : A = 5 : 4 : 2\), dimisalkan \(𝐿 = 5𝑛, 𝑃 = 4𝑛,\) dan \(𝐴 = 2𝑛\)
Jumlah uang untuk \(4\) laki-laki, \(3\) perempuan dan \(6\) anak-anak.

\(4(5𝑛) + 3(4𝑛) + 6(2𝑛) = 880.000\)
\(20𝑛 + 12𝑛 + 12𝑛 = 880.000\)
\(44𝑛 = 880.000\)
\(𝑛 = 20.000\)

Jadi banyak uang yang diperoleh seorang perempuan adalah \(4𝑛 = 4(20.000) =𝑅𝑝80.000,00\)

Rata-rata dari 5 bilangan adalah 100, bilangan keenam ditambahkan maka rata-rata 6 bilangan adalah 100 + 2 = 102. Selanjutnya ditambahkan bilangan ketujuh, rata-rata
ketujuh bilangan adalah 102+2=104. Misalkan bilangan ke-7 adalah \(𝑥\), dengan mengunakan rumus rata-rata

\(\frac{6(102) + 𝑥}{7}= 104\)
\(⇒ 612 + 𝑥 = 728\)
\(⇒ 𝑥 = 728 − 612 = 116\)

jadi bilangan ke-7 adalah \(116\)

\((16)^{𝑥−2} = 64\)
\(⇒(4^2)^{𝑥−2} = 4^3\)
\(⇒2(𝑥 − 2) = 3\)
\(⇒2𝑥 − 4 = 3\)
\(⇒2𝑥 = 7\)
\(⇒ 𝑥 = 3,5\)

Misalkan panjang rusuk alas adalah \(s\) dan tinggi adalah \(t\). Berdasarkan keterangan soal:
\(𝑡^2 = 𝑠 + 1 ⇒ 𝑡 = \sqrt{𝑠 + 1}\)
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑎𝑤𝑎𝑡 \(= 8𝑠 + 4𝑡 = 76⇒ 2𝑠 + 𝑡 = 19\)
Nilai \(𝑠\) yang mungkin adalah \(𝑠 = 8, 𝑡 = \sqrt{8 + 1}= \sqrt{9} = 3\), memenuhi persamaan \(2𝑠 + 𝑡 = 19\)
Jadi volume adalah \(𝑠 × 𝑠 × 𝑡 = 8 × 8 × 3 = 192\) cm²

Contoh kartu domino

untuk pasangan (x,y), x sebagi banyak noktah atas dan y banyak noktah bawah, pasangan (2,3) dan (3,2). Banyak kemungkinan (x,y) adalah

• (6,0), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) jumlah noktah (6 × 7 + (0 + 1 + 2 + ⋯ + 6) = 42 + 21 = 63
• (5,0), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5) jumlah noktah 30 + 15 = 45
• (4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) jumlah noktah 20 + 10 = 30
• (3,0), (3,1), (3,2), (3,3) jumlah noktah 12 + 6 = 18
• (2,0), (2,1), (2,2) jumlah noktah 6 + 3 = 9
• (1,0), (1,1) jumlah noktah 2 + 1 =3

Jadi jumlah noktah seluruhnya adalah 3 + 9 + 18 + 30 + 45 + 63 = 168.

Pertama perbandingan potongan adalah \(2 : 3\), misalkan yang terpendek \(2n\) dan yang
terpanjang adalah \(3n\). Yang terpanjang dipotong menjadi \(2 \) bagian dengan perbandingan \(3 ∶ 4 \)
Panjang terpendek dari potongan adalah
\(\frac{3}{7}(3𝑛) = 126 ⇒ 9𝑛 = 126(7) ⇒ 𝑛 = 98 \)
Jadi total panjang tali mula-mula adalah \(2𝑛 + 5𝑛 = 5𝑛 = 5(98) = 490 \)