Soal dan Solusi UNP Mathematics Challenge SMP 2017

Banyaknya siswa SMPN 1 Kota Solok adalah \(S\), dan rata-ratanya \(86\)
Banyaknya siswa SMPN 1 Kota Bukit tinggi adalah \(B\), dan rata-ratanya \(76\)
Jumlah siswa kedua sekolah adalah \(S + B = 112\), dengan mengunakan rumus rata-rata gabungan kedua sekolah :
\(\frac{86𝑆 + 76𝐵}{112} = 81 ⟹ 81𝑆 + 76𝐵 = 81(112)\)
Diperoleh dua persamaan
\(86𝑆 + 76𝐵 = 81(112) … (1)\)
\(𝑆 + 𝐵 = 112 … (2)\)
Kurangkan persamaan \((1)\) dengan \(76\) kali persamaan \((2)\)
\(86𝑆 + 76𝐵 = 81(112)\)
\(76𝑆 + 76𝐵 = 76(112)\)
____________________________ –
\(10𝑆 = 5(112) ⟹ 2𝑆 = 112 ⟹ 𝑆 = 56\)

Jadi banyak siswa SMPN 1 Kota Solok adalah \(56\) siswa

\(a=\frac{1}{\sqrt{2017}-\sqrt{2016}}×\frac{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}= \sqrt{2017}+\sqrt{2016}\)

\(b=\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}×\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2016}}{\sqrt{2017}-\sqrt{2016}}= \sqrt{2017}-\sqrt{2016}\)

\(a^2=(\sqrt{2017}+\sqrt{2016})^2=2017+2016+2\sqrt{2017×2016}=4033+2\sqrt{ 2017×2016}\)

\(b^2=(\sqrt{2017}-\sqrt{2016})^2=2017+2016-2\sqrt{2017×2016}=4033-2\sqrt{ 2017×2016}\)

\(ab= (\sqrt{2017}+\sqrt{2016})(\sqrt{2017}-\sqrt{2016})=2017-2016=1\)

Jadi nilai dari \(a^2 + ab + b^2=4033+2\sqrt{ 2017×2016}+1+4033-2\sqrt{ 2017×2016}=8067\)

Karena \(BC//EF\) maka \(Δ𝐴𝐵𝐶 ≈ Δ𝐷𝐹𝐸\)
Karena panjang \(DF\) adalah dua pertiga dari panjang \(AC\) maka perbandingan sisi yang bersesuaian pada \(Δ𝐷𝐹𝐸\) dan \(Δ𝐴𝐵𝐶\) adalah \(2 : 3\)
\(\frac{𝐴𝐵}{𝐷𝐸}=\frac{3}{2}\)
\(⇒\frac{6}{3 + 𝐵𝐸}=\frac{3}{2}\)
\(⇒ 3 + 𝐵𝐸 = 4\)
\(⇒ 𝐵𝐸 = 1\) 𝑐𝑚

Misalkan barisan tersebut adalah

\(𝑎, 𝑏, (𝑎 + 𝑏), (𝑎 + 2𝑏), (2𝑎 + 3𝑏), (3𝑎 + 5𝑏)\)

Karena Suku terakhir adalah empat kali suku pertama \(3𝑎 + 5𝑏 = 4𝑎 ⟹ 𝑎 = 5𝑏\)

Jumlah semua suku adalah 104
\(𝑎 + 𝑏 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (2𝑎 + 3𝑏) + 4𝑎 = 104\)
\(⇒9𝑎 + 7𝑏 = 104\)
\(9(5𝑏) + 7𝑏 = 104\)
\(45𝑏 + 7𝑏 = 104\)
\(52𝑏 = 104\)
\(𝑏 = 2\)
Jadi nilai \(a\) adalah \(𝑎 = 5𝑏 = 5(2) = 10\)

Misalkan panjang \(𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝑥\)
\(𝐵𝐶^2 = 𝐴𝐶^2 + 𝐴𝐵^2 = 13^2 + 𝑥^2 = 169 + 𝑥^2\)
selanjutnya dengan tetap menggunakan Pythagoras
\(𝐵𝐷^2 = 𝐵𝐶^2 + 𝐶𝐷^2\)
\(⇒331 = 169 + 𝑥^2 + 𝑥^2\)
\(⇒2𝑥^2 = 331 − 169 = 162\)
\(⇒𝑥^2 =\frac{162}{2}=81\)
\(⇒𝑥 = 9\; 𝑐𝑚\)