KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

\(\frac{9}{m}+\frac{8}{n}=1⇒\frac{9n+8m}{mn}=1\)
\(⇒9n+8m=mn⇒mn-8m-9n=0\)
\(⇒(m-9)(n-8)-72=0\)
\(⇒(m-9)(n-8)=72\)
jadi banyaknya pasangan \((m,n)\) sama dengan banyaknya faktor positif dari 72 yaitu 12

misalkan \(\sqrt{14y^2-20y+48}-\sqrt{14y^2-20y-24}=n\), maka
\(9n=14y^2-20y+48-(14y^2-20y-24)=72\)
\(⇒9n=72\)
\(⇒n=8\)
karena
\(\sqrt{14y^2-20y+48}-\sqrt{14y^2-20y-24}=8\), dan
\(\sqrt{14y^2-20y+48}+\sqrt{14y^2-20y-24}=9\)
Jumlahkan kedua persamaan, diperoleh
\(2(\sqrt{14y^2-20y+48})=17\)
\(⇒\sqrt{14y^2-20y+48}=\frac{17}{2}\)

Dengan menggunakan teorema star-bars banyak solusi \((p,q,r)\) bilangan bulat tak negatif yang memenuhi persamaan \(p + q + r = 20\) adalah
\({{20+3-1}\choose {3-1}}={{22}\choose {2}}=\frac{22!}{2!.20!}=\frac{22\times 21}{2}=231\)

\(a^4+a^3+a^2+a+1=0\) kalikan kedua ruas dengan \(a\),
\(a^5+a^4+a^3+a^2+a=0\)
\(⇒a^5+(-1)=0\)
\(⇒a^5=1\)
Kita dapatkan
\(a^{2020}+a^{2015}+1=(a^5)^{404}+(a^5)^{403}+1\)
\(⇒(1)^{404}+(1)^{403}+1=1+1+1=3\)