KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

Dengan menggunakan perbandingan pada segitiga siku-siku yang salah satu
sudutnya adalah 60°

Diperoleh perbandingan
\(\frac{4 − 𝑟}{𝑟}=\frac{\sqrt 3}{1}\)
\(4 − 𝑟 = \sqrt 3 𝑟\)
\(4 = \sqrt 3 𝑟 + 𝑟\)
\(4 = 𝑟(\sqrt 3 + 1)\)
\(𝑟 =\frac{4}{\sqrt 3 + 1}\)

Untuk pilihan suku pertama, \(1, \frac{1}{3}\) dan \(\frac{1}{9}\) karena nilainya melebihi \(\frac{1}{24}\)

Pilih suku pertamanya adalah \(\frac{1}{27}\) , jumlah deret tak hingga baru adalah \(\frac{\frac{1}{27}}{1−𝑟_𝑏}=\frac{1}{24}⟹1 − 𝑟_𝑏 =\frac{24}{27}⟹ 𝑟_𝑏 = 1 −\frac{24}{27}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}\), untuk \(𝑟_𝑏 =\frac{1}{9}\) memenuhi barisan mula-mula, sehingga pilihan untuk suku pertama pada deret geometri tak hingga baru yaitu \(\frac{1}{27}\) memenuhi. Jadi jumlah suku pertama dan rasio deret tersebut adalah \(\frac{1}{27}+\frac{1}{9}=\frac{1+3}{27}=\frac{4}{27}\)

perhatikan berdasarkan keterangan gambar, luas segitiga kecil merah sama luas segitiga kecil pada segienam, total segitiga pada gambar adalah 12 segitiga, jadi  
Luas segi enam adalah \(\frac{6}{12}× 2\sqrt 3 = \sqrt 3\)

\(\sqrt{2014 + 𝑥\sqrt{2014 + 𝑥\sqrt{2014 + ⋯}}} = 2014\)
\(\sqrt{2014 + 𝑥(2014)} = 2014\)
\(2014 + 2014𝑥 = 2014^2\)
\(1 + 𝑥 = 2014\)
\(𝑥 = 2013\)

Untuk 2000-an tidak ada yang memenuhi, nilai \(|b-c|=2\) yang memenuhi adalah \(\{(0,2), (1, 3), (2, 4), (2, 0), (3, 5), (3, 1) (4, 6), (4, 2), (5, 7), (5, 3), (6, 8), (6, 4), (7,5), (7,9), (8, 6), (9,7)\}\) ada \(16\) pasangan.
Jadi banyak bilangan empat digit \(abcd\) kurang dari \(2011\) yang memenuhi \(|b-c|=2\) adalah \(16 × 10 = 160\) bilangan.