KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

Dengan menggunakan dalil vieta
\(𝑎 + 𝑏 =\frac{5}{2}\) dan \(𝑎𝑏 =\frac{2}{2}=1\)
\(5𝑎^2𝑏 − 2𝑎^3𝑏 = 5𝑎𝑏𝑎 − 2𝑎𝑏𝑎^2 = 5𝑎 − 2𝑎^2\)

pada persamaan \(2𝑥^2 − 5𝑥 + 2 = 0\)
Subtitusi \(𝑥 = 𝑎\), diperoleh
\(2𝑥^2 − 5𝑥 + 2 = 0 ⟹ 2𝑎^2 − 5𝑎 + 2 = 0 ⟹ 5𝑎 − 2𝑎^2 = 2\)

Jadi nilai dari \(5𝑎^2𝑏 − 2𝑎^3𝑏 = 5𝑎 − 2𝑎^2 = 2\)

Karena setiap anak mendapatkan paling sedikit 2 kelereng merah dan 3 kelereng biru maka dipastikan 6 kelereng merah 9 kelereng biru sudah dibagi sehingga menyisahkan 2 kelereng merah dan 3 kelereng biru untuk dibagikan ketiga anak.

•  Banyak cara membagi 2 kelereng merah ke tiga anak
  2, 0, 0, banyak cara ada \(\frac{3!}{2!}= 3\) cara
  1, 1, 0, banyak cara ada 3 cara
• Banyak cara membagi 3 kelereng biru ke tiga anak
  3, 0, 0, banyak cara ada 3 cara
  1, 2, 0, banyak cara ada 3! = 6 cara
  1, 1, 1, banyak cara ada 1 cara

Jadi banyak cara membagi 2 kelereng merah dan tiga kelereng biru ke tiga anak adalah \(6 ×10 = 60\) cara

\(\sqrt[3]{3𝑥 − 4} − \sqrt[3]{2𝑥 − 3}  = \sqrt[3]{𝑥 − 1}\)

Misalkan \(3𝑥 − 4 = 𝑎^3\) dan \(2𝑥 − 3 = 𝑏^3\)
\(⇒\sqrt[3]{𝑎^3} − \sqrt[3]{b^3}= \sqrt[3]{𝑎^3-b^3}\)
\(⇒(𝑎 − 𝑏)^3 = 𝑎^3 − 𝑏^3\)
\(⇒(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)^2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑏^2)\)
\(⇒(𝑎 − 𝑏)(𝑎^2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏^2) − (𝑎 − 𝑏)(𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑏^2) = 0\)
\(⇒(𝑎 − 𝑏)(−3𝑎𝑏) = 0\)
\(⇒𝑎 = 𝑏, 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0\)

Untuk \(𝑎 − 𝑏 = 0, 𝑎 = 𝑏 ⇒ \sqrt[3]{3𝑥 − 4} = \sqrt[3]{2𝑥 − 3} ⇒ 3𝑥 − 4 = 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑥 = 1\)
Untuk \(𝑎 = 0, ⇒ 3𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 =\frac{4}{3}\)
Untuk \(𝑏 = 0 ⇒ 2𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 =\frac{3}{2}\)

Jadi jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(1 +\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{6+8+9}{6}=\frac{23}{6}\)

dengan menggunakan dalil vieta
\(𝑎 + 𝑏 = 1, 𝑎𝑏 = −1\)
dan juga memenuhi persaamaan \(𝑎^2 − 𝑎 = 1, 𝑏^2 − 𝑏 = 1\)

\(\frac{1}{(3𝑎 − 1)(𝑎 − 1)}+\frac{1}{(3𝑏 − 1)(𝑏 − 1)}\)
\(=\frac{1}{3a^2-4a+1}+\frac{1}{3b^2-4b+1}\)
\(=\frac{1}{3(𝑎^2 − 𝑎) − 𝑎 + 1}+\frac{1}{3(𝑏^2 − 𝑏) − 𝑏 + 1}\)
\(=\frac{1}{3(1) − 𝑎 + 1}+\frac{1}{3(1) − 𝑏 + 1}\)
\(=\frac{1}{4 − 𝑎}+\frac{1}{4 − 𝑏}\)
\(=\frac{4 − 𝑏 + 4 − 𝑎}{(4 − 𝑎)(4 − 𝑏)}\)
\(=\frac{8 − (𝑎 + 𝑏)}{16 − 4(𝑎 + 𝑏) + 𝑎𝑏}\)
\(=\frac{8-1}{16-4(1)-1}\)
\(=\frac{7}{11}\)

Misalkan panjang \(𝐴𝐷 = 𝑥\)

Luas biru = Luas merah
\(10𝑥 + 10(𝑥 − 10) = 15(𝑥 − 10) + 15(𝑥 − 25)\)
\(10𝑥 + 10𝑥 − 100 = 15𝑥 − 150 + 15𝑥 − 375\)
\(20𝑥 − 100 = 30𝑥 − 525\)
\(10𝑥 = 425\)
\(𝑥 = 42,5\)